4 { }^{\text {a }} Questão (2,0) - Em um certo instante, a força \vec{F}=(4,0 \mathrm{~N}) \hat{j} age sobre um objeto de 0,25 \mathrm{~kg} cujo vetor posição é \vec{r}=(2,0 \mathrm{~m}) \hat{i}-(2,0 \mathrm{~m}) \hat{k} e cujo vetor velocidade é \vec{v}=(-5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{i}+(5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{k} m relação à origem. Em termos dos vetores unitários, quais são:
(a) o momento angular do objeto?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei todos os números do enunciado) e pede apenas a quantidade indicada:
  • Massa do objeto: m=0,25\\ \mathrm{kg}.
  • Vetor posição: \vec{r}=(2,0\\ \mathrm{m})\hat{i}-(2,0\\ \mathrm{m})\hat{k}. Ou seja, componentes \;r_x=2,0, \;r_y=0, \;r_z=-2,0 (em metros).
  • Vetor velocidade: \vec{v}=(-5\\ \mathrm{m/s})\hat{i}+(5,0\\ \mathrm{m/s})\hat{k}. Ou seja, componentes \;v_x=-5, \;v_y=0, \;v_z=5,0 (em \mathrm{m/s}).
  • A força \vec{F}=(4,0\\ \mathrm{N})\hat{j} é fornecida, mas não é necessária para responder a pergunta (a).
    Pergunta (a): em termos dos vetores unitários, qual é o momento angular do objeto no instante dado?

Passo 2

Definições e ideia que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Momento linear (quantidade de movimento): \vec{p}=m\,\vec{v}, onde m é a massa e \vec{v} a velocidade. Aqui \vec{p} tem unidades \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Momento angular relativo à origem: \vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}. Ou seja, \vec{L} é o produto vetorial entre \vec{r} e \vec{p}. O produto vetorial de dois vetores em \mathbb{R}^3 gera um vetor perpendicular ao plano formado por eles; suas componentes são obtidas pela regra do determinante (mostro adiante passo a passo).
    Vou calcular primeiro \vec{p} e depois \vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}.

Passo 3

Calcular o momento linear \vec{p}=m\,\vec{v} componente a componente.
m=0,25\\ \mathrm{kg},\qquad \vec{v}=(-5)\hat{i}+0\hat{j}+5,0\hat{k}.
Multiplicando cada componente:
\vec{p}=m\vec{v}=(0,25)(-5)\hat{i}+(0,25)(0)\hat{j}+(0,25)(5,0)\hat{k}.
Calcule os produtos:
\vec{p}=(-1,25)\hat{i}+0\hat{j}+1,25\hat{k}\\ \\ (\mathrm{kg\cdot m/s}).

Passo 4

Agora calculamos o produto vetorial \vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}.
Escrevendo as componentes numéricas:
\vec{r}=(2,0)\hat{i}+0\hat{j}+(-2,0)\hat{k}, \qquad \vec{p}=(-1,25)\hat{i}+0\hat{j}+1,25\hat{k}.
Usa-se a fórmula do determinante para o produto vetorial:
\vec{r}\times\vec{p}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\\ r_x & r_y & r_z \\\ p_x & p_y & p_z \end{vmatrix}.
Substituindo os números e calculando cada componente:
  • Componente em \hat{i}:
(r_y p_z - r_z p_y)=0\cdot1,25 - (-2,0)\cdot0 = 0 - 0 = 0.
  • Componente em \hat{j} (lembre do sinal negativo na fórmula):
-(r_x p_z - r_z p_x)=-(2,0\cdot1,25 - (-2,0)\cdot(-1,25))=-(2,50 - 2,50)= -0 = 0.
  • Componente em \hat{k}:
(r_x p_y - r_y p_x)=2,0\cdot0 - 0\cdot(-1,25)=0-0=0.

Passo 5

Portanto o produto vetorial é o vetor nulo:
\vec{r}\times\vec{p}=0\hat{i}+0\hat{j}+0\hat{k}=\vec{0}.
Assim o momento angular é \vec{L}=\vec{0}.
Comentário didático e físico rápido: isso aconteceu porque \vec{r} e \vec{v} (logo \vec{p}) são paralelos — de fato \vec{r}=2,0(\hat{i}-\hat{k}) e \vec{v}=-5(\hat{i}-\hat{k}); quando dois vetores são paralelos o produto vetorial é zero, logo o momento angular em relação à origem é zero. Isso é uma boa propriedade para lembrar na prova: se \vec{r} e \vec{v} são colineares, então \vec{L}=0.

Resposta

\vec{L}=\vec{0}=0\hat{i}+0\hat{j}+0\hat{k}

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