4 { }^{\text {a }} Questão (2,0) - Em um certo instante, a força \vec{F}=(4,0 \mathrm{~N}) \hat{j} age sobre um objeto de 0,25 \mathrm{~kg} cujo vetor posição é \vec{r}=(2,0 \mathrm{~m}) \hat{i}-(2,0 \mathrm{~m}) \hat{k} e cujo vetor velocidade é \vec{v}=(-5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{i}+(5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{k} m relação à origem. Em termos dos vetores unitários, quais são:
(a) o momento angular do objeto?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (peguei todos os números do enunciado) e pede apenas a quantidade indicada:
Massa do objeto: m=0,25\\ \mathrm{kg}.
Vetor posição: \vec{r}=(2,0\\ \mathrm{m})\hat{i}-(2,0\\ \mathrm{m})\hat{k}. Ou seja, componentes \;r_x=2,0, \;r_y=0, \;r_z=-2,0 (em metros).
Vetor velocidade: \vec{v}=(-5\\ \mathrm{m/s})\hat{i}+(5,0\\ \mathrm{m/s})\hat{k}. Ou seja, componentes \;v_x=-5, \;v_y=0, \;v_z=5,0 (em \mathrm{m/s}).
A força \vec{F}=(4,0\\ \mathrm{N})\hat{j} é fornecida, mas não é necessária para responder a pergunta (a).
Pergunta (a): em termos dos vetores unitários, qual é o momento angular do objeto no instante dado?
Passo 2
Definições e ideia que vamos usar (explicando cada símbolo):
Momento linear (quantidade de movimento): \vec{p}=m\,\vec{v}, onde m é a massa e \vec{v} a velocidade. Aqui \vec{p} tem unidades \mathrm{kg\cdot m/s}.
Momento angular relativo à origem: \vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}. Ou seja, \vec{L} é o produto vetorial entre \vec{r} e \vec{p}. O produto vetorial de dois vetores em \mathbb{R}^3 gera um vetor perpendicular ao plano formado por eles; suas componentes são obtidas pela regra do determinante (mostro adiante passo a passo).
Vou calcular primeiro \vec{p} e depois \vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}.
Passo 3
Calcular o momento linear \vec{p}=m\,\vec{v} componente a componente.
Assim o momento angular é \vec{L}=\vec{0}.
Comentário didático e físico rápido: isso aconteceu porque \vec{r} e \vec{v} (logo \vec{p}) são paralelos — de fato \vec{r}=2,0(\hat{i}-\hat{k}) e \vec{v}=-5(\hat{i}-\hat{k}); quando dois vetores são paralelos o produto vetorial é zero, logo o momento angular em relação à origem é zero. Isso é uma boa propriedade para lembrar na prova: se \vec{r} e \vec{v} são colineares, então \vec{L}=0.