(50 Pontos)
c) Calcular uma solução particular da equação definida por t^2 y^prime prime+t y^prime+(t^2-0,25) y=3 t^3 / 2 sen t, t>0 sabendo que duas soluções da equação homogênea associada são y1(t)=t^-1 / 2 sen t e y2(t)=t^-1 / 2 cos t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial bem interessante:
t^2 y'' + t y' + (t^2 - 0,25) y = 3 t^3/2 sin t, t > 0
Nosso objetivo aqui é encontrar uma solução particular dessa equação. Para isso, vamos usar soluções da equação homogênea associada, que são dadas por:
y1(t) = t^-1/2 sin t e y2(t) = t^-1/2 cos t
Vamos precisar utilizar o método de Variação de Parâmetros, que nos permite encontrar uma solução particular quando já conhecemos as soluções da parte homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 y1(t) + C2 y2(t) = C1 t^-1/2 sin t + C2 t^-1/2 cos t
Para encontrar uma solução particular $ y_{p}(t) $, vamos assumir que ela tem a forma:
yp(t)
Aqui, $ u_{1}(t) $ e $ u_{2}(t) $ são funções que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos derivar $ y_{p}(t) $:
Primeira derivada:
yp(t)
Segunda derivada:
yp'(t) = u1'(t) y1(t) + u1(t) y1'(t) + u2'(t) y2(t) + u2(t) y2'(t)
Mas para simplificar, usamos a condição de que:
yp''(t) = u1''(t) y1(t) + 2 u1'(t) y1'(t) + u1(t) y1''(t) + u2''(t) y2(t) + 2 u2'(t) y2'(t) + u2(t) y2''(t)
Isso reduz a expressão das derivadas e facilita os cálculos.

Passo 4

Com essa condição, substituímos na equação original e chegamos a um sistema de equações para $ u_{1}’(t) $ e $ u_{2}’(t) $:
u1'(t) çããê
Vamos montar a matriz de coeficientes com as funções $ y_{1} $ e $ y_{2} $, e calcular o Wronskiano:
u2'(t)

Passo 5

Calculando o Wronskiano:
W = y1 y2' - y2 y1'
Após calcular as derivadas de $ y_{1} $ e $ y_{2} $, substituímos na expressão acima para encontrar $ W $.

Passo 6

Com o Wronskiano em mãos, usamos as fórmulas de variação de parâmetros para encontrar $ u_{1}(t) $ e $ u_{2}(t) $:
u1(t)
Onde $ g(t) = 3 t^{3/2} \sin t $ é o termo da equação não homogênea.

Passo 7

Finalmente, substituímos $ u_{1}(t) $ e $ u_{2}(t) $ na expressão de $ y_{p}(t) $ para obter a solução particular:
u1(t)
Essa será a nossa solução particular que, somada à solução geral da homogênea, dará a solução completa da equação diferencial original.

Resposta

Assim, a solução particular da equação é:
yp(t) = u1(t) t^-1/2 sin t + u2(t) t^-1/2 cos t
Onde $ u_{1}(t) $ e $ u_{2}(t) $ são obtidos através das integrais de variação de parâmetros conforme explicado nos passos anteriores.

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