(50 Pontos)
c) Calcular uma solução particular da equação definida por
sabendo que duas soluções da equação homogênea associada são
e
.
c) Calcular uma solução particular da equação definida por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial bem interessante:
Nosso objetivo aqui é encontrar uma solução particular dessa equação. Para isso, vamos usar soluções da equação homogênea associada, que são dadas por:
Vamos precisar utilizar o método de Variação de Parâmetros, que nos permite encontrar uma solução particular quando já conhecemos as soluções da parte homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a solução geral da equação homogênea é:
Para encontrar uma solução particular $ y_{p}(t) $, vamos assumir que ela tem a forma:
Aqui, $ u_{1}(t) $ e $ u_{2}(t) $ são funções que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos derivar $ y_{p}(t) $:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Mas para simplificar, usamos a condição de que:
Isso reduz a expressão das derivadas e facilita os cálculos.
Passo 4
Com essa condição, substituímos na equação original e chegamos a um sistema de equações para $ u_{1}’(t) $ e $ u_{2}’(t) $:
Vamos montar a matriz de coeficientes com as funções $ y_{1} $ e $ y_{2} $, e calcular o Wronskiano:
Passo 5
Calculando o Wronskiano:
Após calcular as derivadas de $ y_{1} $ e $ y_{2} $, substituímos na expressão acima para encontrar $ W $.
Passo 6
Com o Wronskiano em mãos, usamos as fórmulas de variação de parâmetros para encontrar $ u_{1}(t) $ e $ u_{2}(t) $:
Onde $ g(t) = 3 t^{3/2} \sin t $ é o termo da equação não homogênea.
Passo 7
Finalmente, substituímos $ u_{1}(t) $ e $ u_{2}(t) $ na expressão de $ y_{p}(t) $ para obter a solução particular:
Essa será a nossa solução particular que, somada à solução geral da homogênea, dará a solução completa da equação diferencial original.
Resposta
Assim, a solução particular da equação é:
Onde $ u_{1}(t) $ e $ u_{2}(t) $ são obtidos através das integrais de variação de parâmetros conforme explicado nos passos anteriores.