Use a definição de derivada parcial como limite para calcular as derivadas parciais das funções nos pontos especificados.
f(x, y, z)=-2 x^2+y z^2, partial fpartial z em(-1,0,3);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial de f em relação a z no ponto (-1,0,3), usando a definição de derivada parcial via limite. O conteúdo envolvido é derivados parciais de funções de várias variáveis e vamos precisar da definição de derivada parcial como limite, congelando as outras variáveis.

Passo 2

A definição de derivada parcial de f em relação a z no ponto (x₀,y₀,z₀) é dada por:
partial fpartial z(x₀,y₀,z₀)=limhto0f(x₀,y₀,z₀+h)-f(x₀,y₀,z₀)h
Aqui mantemos x e y fixos e só “movemos” z.

Passo 3

Vamos calcular as duas parcelas do numerador para (x₀,y₀,z₀)=(-1,0,3):
f(-1,0,3+h)=-2(-1)^2+0cdot(3+h)^2=-2+0=-2,
f(-1,0,3)=-2(-1)^2+0cdot3^2=-2+0=-2
Note que ambas as expressões são iguais a -2.

Passo 4

Agora montamos o limite:
partial fpartial z(-1,0,3)=limhto0-2-(-2)h=limhto00h=0
Como o numerador é zero para todo h≠0, o limite também é zero.

Resposta

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