Esboce o domínio das funções a seguir, especifique os pontos do domínio que são pontos interiores, e determine em quais pontos interiores ao domínio a função é descontínua.
f(x, y)=ln (x^2+y^2)

Passo 1

No primeiro passo, vamos resumir o enunciado: queremos esboçar o domínio da função f(x,y)=lnl(x^2+y^2r), identificar quais pontos do domínio são pontos interiores e ver onde a função é descontínua nesses pontos. O conteúdo aqui é domínio e continuidade de funções de duas variáveis, e para resolver precisamos usar a condição de existência do logaritmo natural.

Passo 2

A condição para que lnl(x^2+y^2r) exista é que o argumento seja estritamente positivo, ou seja,
x^2 + y^2 > 0

Passo 3

Dessa desigualdade concluímos que o domínio de f é o plano inteiro menos a origem. Em notação:
D = (x,y)in R^2:;x^2+y^2>0 = R^2setminus(0,0)

Passo 4

Como R^2setminus(0,0) é um conjunto aberto, todos os seus pontos são pontos interiores. Portanto, todos os pontos do domínio são interiores.

Passo 5

Por fim, sabemos que a função g(u)=ln(u) é contínua em (0,infty) e a função h(x,y)=x^2+y^2 é contínua em todo R^2. Como f(x,y)=gl(h(x,y)r) é a composição de funções contínuas em todo o domínio x^2+y^2>0, concluímos que f é contínua em todos os seus pontos interiores e não há descontinuidade interna.

Resposta

Domínio: (x,y)in R^2:;x^2+y^2>0= R^2setminus(0,0) Pontos interiores: todos os pontos do domínio, já que ele é aberto. Pontos de descontinuidade nos interiores: nenhum ( f é contínua em todo o domínio).

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