Esboce o domínio das funções a seguir, especifique os pontos do domínio que são pontos interiores, e determine em quais pontos interiores ao domínio a função é descontínua.
Passo 1
No primeiro passo, vamos resumir o enunciado: queremos esboçar o domínio da função
, identificar quais pontos do domínio são pontos interiores e ver onde a função é descontínua nesses pontos. O conteúdo aqui é domínio e continuidade de funções de duas variáveis, e para resolver precisamos usar a condição de existência do logaritmo natural.
Passo 2
A condição para que
exista é que o argumento seja estritamente positivo, ou seja,
Passo 3
Dessa desigualdade concluímos que o domínio de
é o plano inteiro menos a origem. Em notação:
Passo 4
Como
é um conjunto aberto, todos os seus pontos são pontos interiores. Portanto, todos os pontos do domínio são interiores.
Passo 5
Por fim, sabemos que a função
é contínua em
e a função
é contínua em todo
. Como
é a composição de funções contínuas em todo o domínio
, concluímos que
é contínua em todos os seus pontos interiores e não há descontinuidade interna.
Resposta
Domínio:
Pontos interiores: todos os pontos do domínio, já que ele é aberto. Pontos de descontinuidade nos interiores: nenhum (
é contínua em todo o domínio).