A equação de Laplace tridimensional
é satisfeita pelas distribuições de temperatura no estado estacionário
no espaço, pelos potenciais gravitacionais e pelos potenciais eletrostáticos. A equação de Laplace bidimensional
é obtida eliminando-se a derivada parcial em relação à
da equação anterior, e descreve potenciais e distribuições de temperatura no estado estacionário no plano. Mostre que cada função nos itens a seguir satisfaz uma equação de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede pra gente mostrar que a função
satisfaz a equação de Laplace tridimensional, ou seja, que
. Vamos usar definição de derivada parcial de segunda ordem e lembrar que estar em estado estacionário significa justamente ser solução harmônica (Laplace).
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
. Primeiro com respeito a
e
:
e em relação a
:
Passo 3
Somando todas as derivadas de segunda ordem para verificar a equação de Laplace:
Como a soma deu zero, a gente confirma que
é harmônica no espaço tridimensional.
Resposta
A função
satisfaz a equação de Laplace tridimensional, pois
.