A equação de Laplace tridimensional partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2=0 é satisfeita pelas distribuições de temperatura no estado estacionário T=f(x, y, z) no espaço, pelos potenciais gravitacionais e pelos potenciais eletrostáticos. A equação de Laplace bidimensional partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0 é obtida eliminando-se a derivada parcial em relação à z da equação anterior, e descreve potenciais e distribuições de temperatura no estado estacionário no plano. Mostre que cada função nos itens a seguir satisfaz uma equação de Laplace:
f(x, y, z)=x^2+y^2-2 z^2

Passo 1

O enunciado pede pra gente mostrar que a função f(x,y,z)=x^2+y^2-2z^2 satisfaz a equação de Laplace tridimensional, ou seja, que partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2=0. Vamos usar definição de derivada parcial de segunda ordem e lembrar que estar em estado estacionário significa justamente ser solução harmônica (Laplace).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f. Primeiro com respeito a x e y:
partial^2 fpartial x^2=partialpartial x(2x)=2,
partial^2 fpartial y^2=partialpartial y(2y)=2,
e em relação a z:
partial^2 fpartial z^2=partialpartial z(-4z)=-4

Passo 3

Somando todas as derivadas de segunda ordem para verificar a equação de Laplace:
partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2=2+2+(-4)=0
Como a soma deu zero, a gente confirma que f é harmônica no espaço tridimensional.

Resposta

A função f(x,y,z)=x^2+y^2-2z^2 satisfaz a equação de Laplace tridimensional, pois fxx+fyy+fzz=0.

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