(2.50 pontos) Considere a curva parametrizada pela funçāo vetorial.
T(t)=(\cos 2 t, \sin 2 t, 4 t-1)
Encontre as equaçōes paramétricas da reta tangente a esta curva no ponto (0,1,0).

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a curva é definida pela função vetorial
T(t)=\big(\cos 2t,\;\sin 2t,\;4t-1\big).
  • Ponto fornecido: (0,1,0).
  • Pedido: encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto (0,1,0).
Observação importante: para falar de reta tangente "no ponto (0,1,0)" é necessário primeiro verificar se esse ponto realmente pertence à curva (isto é, se existe t_0 tal que T(t_0)=(0,1,0)). A resolução começa verificando isso.

Passo 2

Verificar se existe t_0\) com \(T(t_0)=(0,1,0)\). Escrevemos o sistema de igualdades componente a componente: \[\begin{cases} \cos(2t_0)=0,\\[4pt] \sin(2t_0)=1,\\[4pt] 4t_0-1=0. \end{cases}
Vou resolver cada equação e ver se existe (t_0] que satisfaça todas ao mesmo tempo.]

Passo 3

Resolver a terceira equação (mais simples) para t_0:
4t_0-1=0 \quad\Longrightarrow\quad t_0=\dfrac{1}{4}.
Agora calculo as componentes x e y da curva nesse t_0 para checar as primeiras duas equações. Para t_0=\dfrac{1}{4} temos
\cos\big(2\cdot\tfrac{1}{4}\big)=\cos\big(\tfrac{1}{2}\big), \qquad \sin\big(2\cdot\tfrac{1}{4}\big)=\sin\big(\tfrac{1}{2}\big).
Valores numéricos aproximados (apenas para verificação):
\cos\big(\tfrac{1}{2}\big)\approx 0{,}87758256,\qquad \sin\big(\tfrac{1}{2}\big)\approx 0{,}47942554.
Esses valores não são \,0 e 1 respectivamente. Logo, para t_0=\tfrac{1}{4} não se obtém (0,1,0). Como a equação do z impôs unicamente t_0=\tfrac{1}{4}, não existe outro t_0 possível que também satisfaça o terceiro componente.
Portanto não existe t_0 tal que T(t_0)=(0,1,0).

Passo 4

Conclusão lógica: o ponto (0,1,0) não pertence à curva dada. Uma reta tangente a uma curva num ponto só faz sentido quando o ponto pertence à curva: a definição prática que usamos na prova é a seguinte — se T(t) é a curva e t_0 é tal que T(t_0)=P, então a reta tangente em P tem equação vetorial
L(s)=T(t_0)+s\,T'(t_0),
onde T'(t) é a derivada componente a componente e s\in\mathbb{R} é o parâmetro da reta. Como não existe t_0 com T(t_0)=P, não há como aplicar essa construção para o ponto (0,1,0).

Passo 5

Para ser didático, mostro como se procede quando o ponto pertence à curva (para que você saiba aplicar na prova). Primeiro calculamos a derivada da função vetorial:
T'(t)=\big(-2\sin 2t,\;2\cos 2t,\;4\big).
Se houvesse um t_0\) com \(T(t_0)=P\), a reta tangente teria equações paramétricas (usando \(s\) como parâmetro da reta) \[\begin{cases} x(s)=\cos(2t_0)-2s\sin(2t_0),\\[6pt] y(s)=\sin(2t_0)+2s\cos(2t_0),\\[6pt] z(s)=4t_0-1+4s. \end{cases}
Isto é: a reta passa por T(t_0)\] e tem direção dada por \(T'(t_0). Em problemas de prova, primeiro sempre confirme que o ponto pertence à curva resolvendo T(t)=P; só então calcule T'(t_0) e escreva a reta como acima.]

Resposta

O ponto (0,1,0) não pertence à curva T(t). Portanto não existe reta tangente à curva no ponto (0,1,0).

Exercícios relacionados