(2.50 pontos) Considere a curva parametrizada pela funçāo vetorial.
Encontre as equaçōes paramétricas da reta tangente a esta curva no ponto
.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: a curva é definida pela função vetorial
- Ponto fornecido:
. - Pedido: encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto
.
Observação importante: para falar de reta tangente "no ponto
" é necessário primeiro verificar se esse ponto realmente pertence à curva (isto é, se existe
tal que
). A resolução começa verificando isso.
Passo 2
Verificar se existe
Vou resolver cada equação e ver se existe (t_0] que satisfaça todas ao mesmo tempo.]
Passo 3
Resolver a terceira equação (mais simples) para
:
Agora calculo as componentes
e
da curva nesse
para checar as primeiras duas equações. Para
temos
Valores numéricos aproximados (apenas para verificação):
Esses valores não são
e
respectivamente. Logo, para
não se obtém
. Como a equação do
impôs unicamente
, não existe outro
possível que também satisfaça o terceiro componente.
Portanto não existe
tal que
.
Passo 4
Conclusão lógica: o ponto
não pertence à curva dada. Uma reta tangente a uma curva num ponto só faz sentido quando o ponto pertence à curva: a definição prática que usamos na prova é a seguinte — se
é a curva e
é tal que
, então a reta tangente em
tem equação vetorial
onde
é a derivada componente a componente e
é o parâmetro da reta. Como não existe
com
, não há como aplicar essa construção para o ponto
.
Passo 5
Para ser didático, mostro como se procede quando o ponto pertence à curva (para que você saiba aplicar na prova). Primeiro calculamos a derivada da função vetorial:
Se houvesse um
Isto é: a reta passa por
. Em problemas de prova, primeiro sempre confirme que o ponto pertence à curva resolvendo
; só então calcule
e escreva a reta como acima.]
Resposta
O ponto
não pertence à curva
. Portanto não existe reta tangente à curva no ponto
.