(2.50 pontos) Encontre a soluçio geral da seguinte equação diferencial linear de 1^{2} ordem:
y^{\prime}=x-y

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y' = x - y
e pede para encontrar a solução geral y(x) (isto é, a família de soluções que contém uma constante arbitrária). Informações relevantes dadas:
  • A função desconhecida é y(x).
  • A equação relaciona y' com x e y.
  • Precisa-se da solução geral (com constante arbitária).

Passo 2

Colocar a equação na forma linear padrão. Reescrevendo:
y' + y = x.
Aqui reconhece-se a forma padrão de uma equação diferencial linear de 1ª ordem
y' + p(x)\,y = q(x),
onde, no nosso caso, p(x)=1 e q(x)=x. Explicando o que isso significa: p(x) é a função que multiplica y e q(x) é o termo independente; para resolver esse tipo usamos o fator integrante.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x). A fórmula do fator integrante para a equação y' + p(x)y = q(x) é
\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}.
Aqui p(x)=1, portanto
\mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^{x}.
Multiplica-se a equação original por \mu(x):
e^{x}y' + e^{x}y = e^{x}x.
A razão de fazer isso é que o lado esquerdo passa a ser a derivada do produto \mu(x)y. Vamos verificar isso explicitamente.

Passo 4

Verificar a identidade do lado esquerdo e integrar. Pelo produto, temos
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big) = e^{x}y' + e^{x}y.
Portanto a equação multipicada fica
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big) = e^{x}x.
Integrando ambos os lados em relação a x,
\int \frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)\,dx = \int e^{x}x\,dx.
O lado esquerdo resulta em e^{x}y. Restou calcular \int e^{x}x\,dx, que faremos por partes.

Passo 5

Integração por partes de \int e^{x}x\,dx. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolhe-se u=x e dv=e^{x}\,dx. Então du=dx e v=e^{x}. Aplicando:
\int e^{x}x\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C,
onde C é a constante de integração. Assim, a igualdade após integração fica
e^{x}y = x e^{x} - e^{x} + C.

Passo 6

Isolar y. Divide-se ambos os lados por e^{x}:
y = x - 1 + C e^{-x}.
Aqui C é uma constante arbitrária (real). Esta é a solução geral. Explicando: a solução é a soma de uma solução particular x-1 da equação não homogênea e da solução geral C e^{-x} da equação homogênea associada y'+y=0.

Passo 7

Verificação rápida (checagem): calcular y' a partir de y=x-1+C e^{-x}:
y' = 1 - C e^{-x}.
Calcular x-y:
x-y = x - \big(x-1+C e^{-x}\big) = 1 - C e^{-x}.
Como y' = x-y, a solução está correta.

Resposta

y(x)=x-1+C e^{-x}

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