(2.50 pontos) Encontre a soluçio geral da seguinte equação diferencial linear de
ordem:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede para encontrar a solução geral
(isto é, a família de soluções que contém uma constante arbitrária). Informações relevantes dadas:
- A função desconhecida é
. - A equação relaciona
com e . - Precisa-se da solução geral (com constante arbitária).
Passo 2
Colocar a equação na forma linear padrão. Reescrevendo:
Aqui reconhece-se a forma padrão de uma equação diferencial linear de 1ª ordem
onde, no nosso caso,
e
. Explicando o que isso significa:
é a função que multiplica
e
é o termo independente; para resolver esse tipo usamos o fator integrante.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. A fórmula do fator integrante para a equação
é
Aqui
, portanto
Multiplica-se a equação original por
:
A razão de fazer isso é que o lado esquerdo passa a ser a derivada do produto
. Vamos verificar isso explicitamente.
Passo 4
Verificar a identidade do lado esquerdo e integrar. Pelo produto, temos
Portanto a equação multipicada fica
Integrando ambos os lados em relação a
,
O lado esquerdo resulta em
. Restou calcular
, que faremos por partes.
Passo 5
Integração por partes de
. A fórmula de integração por partes é
Escolhe-se
e
. Então
e
. Aplicando:
onde
é a constante de integração. Assim, a igualdade após integração fica
Passo 6
Isolar
. Divide-se ambos os lados por
:
Aqui
é uma constante arbitrária (real). Esta é a solução geral. Explicando: a solução é a soma de uma solução particular
da equação não homogênea e da solução geral
da equação homogênea associada
.
Passo 7
Verificação rápida (checagem): calcular
a partir de
:
Calcular
:
Como
, a solução está correta.