Prove que, para todo X \subset \mathbb{R}, vale \bar{X}=X \cup \partial X. Conclua que X é fechado se, e somente se, \partial X \subset X.
5. Prove que se todos os pontos do conjunto X \subset \mathbb{R} são isolados então pode-se escolher, para cada x \in X, um intervalor aberto I_{x}, de centro x, tal que x \neq y \Rightarrow I_{x} \cap I_{y}=\emptyset.

Passo 1

O enunciado traz duas tarefas distintas. Vou listar claramente o que é pedido e o que é dado:
  • Parte A: mostrar que, para todo X \subset \mathbb{R},
\overline{X}=X\cup\partial X.
Em seguida concluir a equivalência: X é fechado se, e somente se, \partial X \subset X.
  • Parte B (questão 5): provar que, se todos os pontos do conjunto X\subset\mathbb{R} são isolados, então é possível escolher, para cada x\in X, um intervalo aberto I_x centrado em x tal que, para x\neq y, I_x\cap I_y=\emptyset.
Informações relevantes dadas implicitamente:
  • X é um subconjunto arbitrário de \mathbb{R}.
  • Na Parte B assume-se a hipótese “todo ponto de X é isolado”, isto é, cada x\in X possui uma vizinhança que contém somente x de X.

Passo 2

Primeiro, vou lembrar (e explicar) as definições que vou usar — isso é importante para a prova passo a passo.
  • Definição de fecho: \overline{X} é o fecho de X, isto é, o menor conjunto fechado que contém X. Uma forma operacional: p\in\overline{X} se, e somente se, toda vizinhança aberta de p intersecta X. Em outras palavras, não existe bola aberta em torno de p que seja disjunta de X.
  • Definição de bordo (fronteira) de X: \partial X é o conjunto dos pontos p tais que toda vizinhança aberta de p intersecta tanto X quanto o complemento X^c. Outra fórmula útil (de definição) é
\partial X = \overline{X}\cap\overline{X^c}.
Também é útil lembrar que o interior X^\circ é o conjunto de pontos que têm uma vizinhança totalmente contida em X, e que vale a identidade padrão
\partial X = \overline{X}\setminus X^\circ.
Essas definições serão usadas diretamente nas inclusões que seguem.

Passo 3

Provar a inclusão \overline{X}\subset X\cup\partial X.
Tomemos um ponto arbitrário p\in\overline{X}. Queremos mostrar que p\in X ou p\in\partial X.
  • Se p\in X então estamos feitos.
  • Caso p\notin X: como p\in\overline{X}, toda vizinhança aberta de p interseta X. Além disso, como p\notin X, qualquer vizinhança aberta de p também contém pontos de X^c (pelo menos o próprio p). Portanto, toda vizinhança de p encontra tanto X quanto X^c; pela definição, isso significa p\in\partial X.
Logo, em todos os casos p\in X\cup\partial X. Isso prova \overline{X}\subset X\cup\partial X.

Passo 4

Provar a inclusão X\cup\partial X\subset\overline{X}.
  • Primeiro, X\subset\overline{X} é imediato porque o fecho contém X.
  • Segundo, \partial X\subset\overline{X} porque, pela fórmula \partial X=\overline{X}\cap\overline{X^c}, a fronteira é interseção de \overline{X} com outro conjunto, logo está contida em \overline{X}.
Combinando os dois itens obtemos X\cup\partial X\subset\overline{X}.

Passo 5

Concluir a igualdade e a consequência sobre conjuntos fechados.
Das inclusões dos passos 3 e 4 segue
\overline{X}=X\cup\partial X.
Agora a conclusão sobre fechados. Lembre que X é fechado exatamente quando \overline{X}=X.
  • Se X é fechado então \overline{X}=X. Usando a igualdade anterior,
X=\overline{X}=X\cup\partial X,
o que só é possível se \partial X\subset X. Assim, “fechado” implica \partial X\subset X.
  • Reciprocamente, se \partial X\subset X então, usando a igualdade do fecho,
\overline{X}=X\cup\partial X \subset X,
portanto \overline{X}=X e X é fechado.
Portanto X é fechado se, e somente se, \partial X\subset X.

Passo 6

Agora vou tratar a Parte B (questão 5). Primeiro explico o que significa “ponto isolado” e em seguida faço a construção dos intervalos.
  • Definição: um ponto x\in X é isolado se existe \delta>0 tal que
(x-\delta,x+\delta)\cap X=\{x\}.
Isto é, há uma vizinhança de x que contém nenhum outro ponto de X além de x próprio.
Pela hipótese da questão, todo x\in X é isolado, então para cada x existe um número \varepsilon_x>0 com
(x-\varepsilon_x,x+\varepsilon_x)\cap X=\{x\}.
Vou usar esses \varepsilon_x para definir intervalos menores que garantem disjunção.

Passo 7

Construção explícita e prova de disjunção.
Para cada x\in X defina o intervalo aberto centrado em x
I_x := \bigl(x-\tfrac{\varepsilon_x}{3},\; x+\tfrac{\varepsilon_x}{3}\bigr).
Note que I_x é aberto, tem centro x, e está contido em (x-\varepsilon_x,x+\varepsilon_x), portanto
I_x\cap X = \{x\}.
Agora provarei que, para x\neq y em X, tem-se I_x\cap I_y=\emptyset.
Fixem x\neq y em X. Pela escolha de \varepsilon_x temos que y\notin(x-\varepsilon_x,x+\varepsilon_x), ou seja,
|x-y|\ge \varepsilon_x.
Analogamente, |x-y|\ge\varepsilon_y. Portanto
|x-y|\ge \max\{\varepsilon_x,\varepsilon_y\}.
Agora calcule a soma dos raios dos intervalos I_x e I_y:
\operatorname{raio}(I_x)+\operatorname{raio}(I_y)=\tfrac{\varepsilon_x}{3}+\tfrac{\varepsilon_y}{3}=\tfrac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{3}.
Como \varepsilon_x+\varepsilon_y \le 2\max\{\varepsilon_x,\varepsilon_y\}, obtemos
\tfrac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{3}\le \tfrac{2}{3}\max\{\varepsilon_x,\varepsilon_y\}.
E, como \tfrac{2}{3}<1, segue
\tfrac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{3}<\max\{\varepsilon_x,\varepsilon_y\}\le |x-y|.
Logo
\operatorname{raio}(I_x)+\operatorname{raio}(I_y) < |x-y|.
Isto implica que os dois intervalos abertos centrados em x e y não se sobrepõem: se dois intervalos abertos de centros x,y têm soma dos raios menor que |x-y|, então eles são disjuntos. Portanto I_x\cap I_y=\emptyset.
Assim, para cada x\in X foi escolhido um intervalo aberto I_x centrado em x e os intervalos correspondentes a pontos distintos são disjuntos, como exigido.

Resposta

\displaystyle \overline{X}=X\cup\partial X.
X é fechado se, e somente se, \partial X\subset X.
Para a questão 5: se todo ponto de X é isolado, então para cada x\in X existe \varepsilon_x>0 tal que, definindo I_x=\bigl(x-\tfrac{\varepsilon_x}{3},x+\tfrac{\varepsilon_x}{3}\bigr), tem-se I_x\cap I_y=\emptyset sempre que x\neq y.

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