(2.50 pontos) Encontre a solução geral da seguinte EDO de
ordem:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária de segunda ordem
Informações dadas:
- A incógnita é a função
. - Temos uma EDO não linear de ordem 2, com coeficientes constantes no lado linear e termo não linear
. - Não há condições iniciais ou contornos; queremos a família geral de soluções (com duas constantes arbitrárias).
O que exatamente é pedido:
- Determinar a solução geral
(ou uma forma implícita que descreva a família de soluções) para a EDO acima.
Passo 2
Estratégia inicial (redução de ordem usando autonomia).
Observação útil: a equação não depende explicitamente de
(ou seja, é autônoma no sentido de que o termo à direita envolve apenas
e suas derivadas, não
). Sempre que a EDO não contém
explicitamente podemos fazer a redução de ordem clássica definindo
Assim tratamos
como função de
e usamos a relação da derivada segunda por cadeia:
Substituímos essas expressões na EDO para obter uma equação de primeira ordem que relaciona
e
.
Passo 3
Substituição e obtenção da ODE de primeira ordem.
Substituindo
e
em
obtém-se
Esta é uma equação de primeira ordem para
em função de
. Reescrevendo:
Esta forma é conveniente porque isola a derivada
.
Passo 4
Transformação em forma de diferencial exata/forma diferencial.
A equação para
pode ser rearranjada para uma forma diferencial:
Multiplicando por
obtemos a forma diferencial
ou escrito como
Isto é uma 1-forma
com
e
. A equação é, em geral, uma equação do tipo Abel (do 2º tipo) para a função
. Em geral, equações de Abel não têm solução elementar simples; porém podemos procurar uma integral implícita (uma primeira integral) que define
em função de
.
Passo 5
Procurando uma integração por fatores ou uma forma integrável.
Tentamos manipular a forma
de modo a obter uma diferencial exata ou uma expressão integrável. Reescrevendo como
podemos ver a seguinte interpretação: ao longo de uma solução
a igualdade acima é verdadeira, de modo que podemos integrar ambos os lados ao longo dessa curva solução. Em termos de diferencial total isso significa integrar a forma
em relação à variável
usando
. Isso conduz a uma expressão implícita que relaciona
e
.
(Observação didática: aqui fazemos uma troca de variável implícita consistente com o fato de que
; assim a igualdade diferencial pode ser integrada ao longo da solução. O resultado é uma relação implícita entre
e
.)
Passo 6
Integração formal para obter a relação implícita entre
e
.
Partimos de
Multiplicando por
e integrando ao longo da solução:
onde
é uma constante de integração. A integral à esquerda é tomada ao longo da curva
; escrevemos o resultado como função implícita entre
e
. Podemos tentar calcular explicitamente a integral à esquerda em termos de
e
. Uma forma conveniente é escrever
logo
Ao integrar, lembrando que
é tratado como função de
ao longo da curva solução, a primeira integral é simplesmente
. A segunda integral resulta em
multiplicado por
, porém como
depende de
não podemos extrair
fora da integral de forma elementar. Portanto a expressão fica em termos de uma combinação implícita. Consequentemente obtemos uma relação implícita do tipo
onde
corresponde à contribuição da integral
vista ao longo da curva solução.
Passo 7
Interpretação: equação de Abel e solução geral em quadratura.
O resultado do passo anterior mostra que a redução de ordem transformou a EDO original numa equação de Abel (não linear do primeiro grau em
com termos racionais em
e
). Equações de Abel, em geral, não admitem solução em funções elementares simples; a técnica padrão é reduzir a equação a uma forma integrável por substituições ou então aceitar uma solução implícita por quadratura (integrais que definem a relação entre
e
). Portanto a solução geral da EDO pode ser dada implicitamente pelas quadraturas obtidas na redução de ordem.
Escrevendo a equação integrada de forma explícita, a relação entre
e
fica:
onde a integral no lado esquerdo é entendida como integral ao longo da curva solução, i.e. avaliando-se a primitiva em
preservando a dependência
. Uma primitiva formal (não isolando
em termos de
de forma explícita) pode ser escrita simbolicamente por
Essa é a primeira integral da equação reduzida; lembra que
. Uma vez conhecida a relação implícita
, a integração final para recuperar
é feita por quadratura simples:
onde
é a segunda constante de integração.
Passo 8
Resumo do procedimento para obter a solução geral (passos práticos na prova).
Se estiver fazendo a prova e encontrar
faça:
- Coloque
. Então . - Substitua e obtenha a ODE de primeira ordem
- Reescreva como diferencial
e integre implicitamente para obter a primeira integral (uma relação implícita entre
e
com uma constante
).
4. A partir dessa relação implícita, recupere integrando
4. A partir dessa relação implícita, recupere
Os passos 3–4 são quadraturas (integrais): na prática a equação reduzida é uma equação do tipo Abel e quase sempre leva a uma relação implícita que define
e, depois,
por integração.
Passo 9
Comentário final e solução apresentada de forma prática (forma implícita).
Portanto, a solução geral não se escreve em termos de funções elementares simples; a forma prática e correta da solução geral é dada em duas quadraturas sucessivas:
- primeira integral (relação implícita entre
e ):
com
;
- segunda quadratura (recuperar
):
Estas duas relações determinam a família geral de soluções
(com as constantes arbitrárias
). Se for necessário obter uma solução explícita em uma situação concreta (por exemplo para certas condições iniciais), procede-se numericamente ou tenta-se alguma substituição particular apropriada que reduza a integral a funções conhecidas.
Resposta
A solução geral é dada implicitamente pelas quadraturas
e
onde
e
são constantes de integração.