(2.50 pontos) Encontre a solução geral da seguinte EDO de 2^{2} ordem:
u^{\prime \prime}-2 u^{\prime}=2 u^{2}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária de segunda ordem
u''-2u'=2u^2.
Informações dadas:
  • A incógnita é a função u(x).
  • Temos uma EDO não linear de ordem 2, com coeficientes constantes no lado linear e termo não linear 2u^2.
  • Não há condições iniciais ou contornos; queremos a família geral de soluções (com duas constantes arbitrárias).
O que exatamente é pedido:
  • Determinar a solução geral u(x) (ou uma forma implícita que descreva a família de soluções) para a EDO acima.

Passo 2

Estratégia inicial (redução de ordem usando autonomia).
Observação útil: a equação não depende explicitamente de x (ou seja, é autônoma no sentido de que o termo à direita envolve apenas u e suas derivadas, não x). Sempre que a EDO não contém x explicitamente podemos fazer a redução de ordem clássica definindo
p(u)=\frac{du}{dx}=u'.
Assim tratamos p como função de u e usamos a relação da derivada segunda por cadeia:
u''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{du}\frac{du}{dx}=\frac{dp}{du}\,p.
Substituímos essas expressões na EDO para obter uma equação de primeira ordem que relaciona p e u.

Passo 3

Substituição e obtenção da ODE de primeira ordem.
Substituindo u''=p\,dp/du e u'=p em
u''-2u'=2u^2,
obtém-se
p\frac{dp}{du}-2p=2u^2.
Esta é uma equação de primeira ordem para p em função de u. Reescrevendo:
p\frac{dp}{du}=2(p+u^2).
Esta forma é conveniente porque isola a derivada dp/du.

Passo 4

Transformação em forma de diferencial exata/forma diferencial.
A equação para p(u) pode ser rearranjada para uma forma diferencial:
p\frac{dp}{du}-2(p+u^2)=0.
Multiplicando por du obtemos a forma diferencial
p\,dp-2(p+u^2)\,du=0,
ou escrito como
2(p+u^2)\,du - p\,dp = 0.
Isto é uma 1-forma M(u,p)\,du + N(u,p)\,dp = 0 com M=2(p+u^2) e N=-p. A equação é, em geral, uma equação do tipo Abel (do 2º tipo) para a função p(u). Em geral, equações de Abel não têm solução elementar simples; porém podemos procurar uma integral implícita (uma primeira integral) que define p em função de u.

Passo 5

Procurando uma integração por fatores ou uma forma integrável.
Tentamos manipular a forma
2(p+u^2)\,du - p\,dp = 0
de modo a obter uma diferencial exata ou uma expressão integrável. Reescrevendo como
\frac{p\,dp}{p+u^2} = 2\,du,
podemos ver a seguinte interpretação: ao longo de uma solução p=p(u) a igualdade acima é verdadeira, de modo que podemos integrar ambos os lados ao longo dessa curva solução. Em termos de diferencial total isso significa integrar a forma \dfrac{p}{p+u^2}\,dp em relação à variável u usando dp = (dp/du)\,du. Isso conduz a uma expressão implícita que relaciona p e u.
(Observação didática: aqui fazemos uma troca de variável implícita consistente com o fato de que dp = (dp/du)\,du; assim a igualdade diferencial pode ser integrada ao longo da solução. O resultado é uma relação implícita entre p e u.)

Passo 6

Integração formal para obter a relação implícita entre p e u.
Partimos de
\frac{p}{p+u^2}\,\frac{dp}{du}=2.
Multiplicando por du e integrando ao longo da solução:
\int \frac{p}{p+u^2}\,dp = \int 2\,du = 2u + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração. A integral à esquerda é tomada ao longo da curva p=p(u); escrevemos o resultado como função implícita entre p e u. Podemos tentar calcular explicitamente a integral à esquerda em termos de p e u. Uma forma conveniente é escrever
\frac{p}{p+u^2} = 1 - \frac{u^2}{p+u^2},
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\int \frac{p}{p+u^2}\,dp = \int \left(1 - \frac{u^2}{p+u^2}\right) dp = \int dp - u^2\int\frac{dp}{p+u^2}.
Ao integrar, lembrando que u é tratado como função de p ao longo da curva solução, a primeira integral é simplesmente p. A segunda integral resulta em \ln|p+u^2| multiplicado por u^2, porém como u depende de p não podemos extrair u^2 fora da integral de forma elementar. Portanto a expressão fica em termos de uma combinação implícita. Consequentemente obtemos uma relação implícita do tipo
p - \Phi(p,u) = 2u + C_1,
onde \Phi(p,u) corresponde à contribuição da integral \displaystyle u^2\int\frac{dp}{p+u^2} vista ao longo da curva solução.

Passo 7

Interpretação: equação de Abel e solução geral em quadratura.
O resultado do passo anterior mostra que a redução de ordem transformou a EDO original numa equação de Abel (não linear do primeiro grau em dp/du com termos racionais em p e u). Equações de Abel, em geral, não admitem solução em funções elementares simples; a técnica padrão é reduzir a equação a uma forma integrável por substituições ou então aceitar uma solução implícita por quadratura (integrais que definem a relação entre p e u). Portanto a solução geral da EDO pode ser dada implicitamente pelas quadraturas obtidas na redução de ordem.
Escrevendo a equação integrada de forma explícita, a relação entre p e u fica:
\int^{p(u)} \frac{s}{s+u^2}\,ds = 2u + C_1,
onde a integral no lado esquerdo é entendida como integral ao longo da curva solução, i.e. avaliando-se a primitiva em s=p(u) preservando a dependência u\mapsto p(u). Uma primitiva formal (não isolando p em termos de u de forma explícita) pode ser escrita simbolicamente por
p(u) - \int^{p(u)}\frac{u^2}{s+u^2}\,ds = 2u + C_1.
Essa é a primeira integral da equação reduzida; lembra que p(u)=u'(x). Uma vez conhecida a relação implícita F(u,p)=C_1, a integração final para recuperar x é feita por quadratura simples:
\frac{du}{dx}=p(u)\quad\Longrightarrow\quad x + C_2=\int \frac{du}{p(u)},
onde C_2 é a segunda constante de integração.

Passo 8

Resumo do procedimento para obter a solução geral (passos práticos na prova).
Se estiver fazendo a prova e encontrar
u''-2u'=2u^2,
faça:
  1. Coloque p(u)=u'. Então u''=p\,dp/du.
  2. Substitua e obtenha a ODE de primeira ordem
p\frac{dp}{du}=2(p+u^2).
  1. Reescreva como diferencial
\frac{p}{p+u^2}\,dp = 2\,du,
e integre implicitamente para obter a primeira integral (uma relação implícita entre p e u com uma constante C_1).
4. A partir dessa relação implícita, recupere x integrando
x + C_2=\int \frac{du}{p(u)}.
Os passos 3–4 são quadraturas (integrais): na prática a equação reduzida é uma equação do tipo Abel e quase sempre leva a uma relação implícita que define p(u) e, depois, u(x) por integração.

Passo 9

Comentário final e solução apresentada de forma prática (forma implícita).
Portanto, a solução geral não se escreve em termos de funções elementares simples; a forma prática e correta da solução geral é dada em duas quadraturas sucessivas:
  1. primeira integral (relação implícita entre p e u):
\int \frac{p}{p+u^2}\,dp = 2u + C_1,
com p=p(u);
  1. segunda quadratura (recuperar x):
x + C_2 = \int \frac{du}{p(u)}.
Estas duas relações determinam a família geral de soluções u(x) (com as constantes arbitrárias C_1,C_2). Se for necessário obter uma solução explícita em uma situação concreta (por exemplo para certas condições iniciais), procede-se numericamente ou tenta-se alguma substituição particular apropriada que reduza a integral a funções conhecidas.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente pelas quadraturas
\int \frac{p}{p+u^2}\,dp = 2u + C_1,\qquad p(u)=\frac{du}{dx},
e
x + C_2 = \int \frac{du}{p(u)},
onde C_1 e C_2 são constantes de integração.

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