(2.50 pontos) Encontre a solução geral da EDO x y^{\prime}=4 y+x^{3}, onde x \neq 0.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da EDO x\,y'=4y+x^{3} para x\neq0.
Informações dadas:
A equação diferencial é de primeira ordem e envolve y' (derivada de y em relação a x).
Está explícito que x\neq0 (portanto podemos dividir por x quando preciso).
A meta é obter uma expressão para y em função de x contendo uma constante arbitrária.
Passo 2
Primeiro passo técnico: colocar a equação na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem, que é
y' + p(x)\,y = q(x).
A partir de x\,y' = 4y + x^{3} dividimos por x (válido porque x\neq0) e obtemos
y' - \frac{4}{x}\,y = x^{2}.
Aqui já está na forma padrão com p(x) = -\dfrac{4}{x} e q(x)=x^{2}.
Passo 3
Explico a técnica (bem didática): para resolver uma EDO linear y' + p(x)y = q(x) usa-se o fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
A razão: multiplicando a equação por \mu(x) a parte esquerda vira a derivada do produto \mu(x)y:
\big(\mu(x)\,y\big)'=\mu(x)\,q(x).
Então basta integrar ambos os lados e isolar y. É um método padrão e prático na prova.
Como estamos em um intervalo onde x\neq0 (ou seja, podemos trabalhar separadamente em x>0 ou x<0), podemos tomar \mu(x)=x^{-4} — escolher o sinal fica absorvido pela constante de integração no final. Vou usar \mu(x)=x^{-4} para simplificar a escrita.
Passo 6
Multiplicamos a equação y' - \dfrac{4}{x}y = x^{2} por \mu(x)=x^{-4}:
x^{-4}y' - \frac{4}{x}\,x^{-4}y = x^{-2}.
A esquerda é, por construção, a derivada do produto:
\big(x^{-4}y\big)' = x^{-2}.
(Se quiser, dá para verificar expandindo a derivada: (x^{-4}y)' = x^{-4}y' + (x^{-4})'y e (x^{-4})' = -4x^{-5}, então x^{-4}y' -4x^{-5}y = x^{-2}, multiplicando por x volta-se à equação original; tudo consistente.)
Passo 7
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \big(x^{-4}y\big)'\,dx = \int x^{-2}\,dx.
A integral do lado esquerdo dá x^{-4}y. A integral do lado direito é
\int x^{-2}\,dx = \int x^{-2}\,dx = -x^{-1} + C,
onde C é a constante de integração. Portanto
x^{-4}y = -x^{-1} + C.
Passo 8
Isolamos y multiplicando ambos os lados por x^{4}:
y = x^{4}\big(-x^{-1} + C\big) = -x^{3} + Cx^{4}.
Podemos escrever a solução geral como
y = C x^{4} - x^{3},
onde C é uma constante arbitrária real. Essa expressão vale para x\neq0, como exigido.
Passo 9
Cheque rápido (opcional, só para segurança): derivando y=C x^{4}-x^{3} obtemos y' = 4C x^{3} - 3x^{2}. Substituindo na equação original x y' = 4y + x^{3}:
x(4C x^{3}-3x^{2}) = 4(C x^{4}-x^{3}) + x^{3},
o lado esquerdo é 4C x^{4}-3x^{3} e o direito é 4C x^{4}-4x^{3}+x^{3}=4C x^{4}-3x^{3}. Bate certinho. Bom sinal!