Resolva o seguinte problema de valor inicial por Transformadas de Laplace. Indique sempre a propriedade da tabela de transformadas de Lapalce sendo utilizada em cada passo
observação: Note que g(t-\pi)=(t-\pi) na primeira linha da equação (1), então usando a substituição v=t-\pi obtemos g(t)=t. Assim, \mathcal{L}\left\{u_{\pi}(t)(t-\pi)\right\}=e^{-\pi s} \mathcal{L}\{t\}. (Pontuação: 1.0)
Pela propriedade da derivada e linearidade, à esquerda obtemos
s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0)+4Y(s).
Substituindo y(0)=1 e y'(0)=2:
s^{2}Y(s)-s-2+4Y(s).
Passo 3
Tratar o lado direito: transformar t\star 1 e u_{\pi}(t)(t-\pi). Propriedades usadas:
Propriedade da convolução: \mathcal{L}\{f\star g\}=\mathcal{L}\{f\}\cdot\mathcal{L}\{g\}.
Teorema do deslocamento no tempo (segunda propriedade de deslocamento): se g(t)=f(t-a)u_a(t) então \mathcal{L}\{g(t)\}=e^{-a s}F(s), onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}.
Para u_{\pi}(t)(t-\pi): é da forma u_{a}(t)f(t-a) com a=\pi e f(v)=v. A transformada de f(v)=v é \mathcal{L}\{v\}=\dfrac{1}{s^{2}}. Então, pela propriedade de deslocamento,
Inverter e^{-\pi s}\cdot\dfrac{1}{s^{2}(s^{2}+4)} aplicando primeiro a transformada inversa de \dfrac{1}{s^{2}(s^{2}+4)} e depois usando o teorema do deslocamento (o fator e^{-\pi s} corresponde a multiplicar por u_{\pi}(t) e deslocar a função em t-\pi).
Passo 6
Decomposição em frações parciais de \dfrac{1}{s^{3}(s^{2}+4)}. Supomos
Agora tratar a parte com deslocamento: e^{-\pi s}\cdot \dfrac{1}{s^{2}(s^{2}+4)}.
Primeiro, sem o fator exponencial, temos \dfrac{1}{s^{2}(s^{2}+4)}=\dfrac{1}{s^{2}}\cdot\frac{1}{s^{2}+4}. Pela propriedade de produto de transformadas, a transformada inversa é convolução:
Reunir todas as parcelas invertidas para obter y(t). Somando as inversas encontradas:
Da fração parcial: -\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{8}t^{2}+\dfrac{1}{16}\cos 2t.
Da parcela \dfrac{s+2}{s^{2}+4}: \cos 2t+\sin 2t.
Da parcela deslocada: u_{\pi}(t)\!\left(\dfrac{t-\pi}{4}-\dfrac{1}{8}\sin(2(t-\pi))\right).
Somando (e simplificando os termos em \cos 2t) obtemos a expressão final para y(t) (esta expressão será escrita de forma única e limpa na seção de resposta).