(2.00 pontos) Resolva a EDO
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- É dada a equação diferencial ordinária de primeira ordem
. - A incógnita é a função
. - O que pedir é: encontrar a solução geral
(ou seja, todas as soluções em termos de uma constante arbitrária).
Passo 2
Primeira simplificação algébrica (organizar a equação):
- Observa-se que os termos do lado direito têm o fator comum
. Posso escrever
- Aqui uso a notação
e escrevo explicitamente a dependência quando necessário.
Passo 3
Separação de variáveis (colocar os
de um lado e os
do outro):
- Como
para todo , é permitido dividir ambos os lados por . Fazendo isso obtemos
- Reescrevendo o lado esquerdo de forma mais conveniente:
- Explicação rápida do porquê: separar variáveis significa isolar todas as expressões que dependem de
multiplicando num lado e todas as que dependem de multiplicando no outro, para então integrar ambos os lados.
Passo 4
Integração dos dois lados — lado em
:
- Vamos integrar em
o lado esquerdo:
- Um lembrete útil: a derivada de
em relação a é . Assim,
onde
é uma constante de integração (vamos juntar as constantes ao final).
Passo 5
Integração dos dois lados — lado em
:
- Agora integramos em
o lado direito:
- Separando:
porque
, então para inverter essa derivada aparece o fator
.
- Assim
com
outra constante de integração.
Passo 6
Igualar os resultados das integrais e tratar a constante:
- Juntando as integrais temos
onde
representa uma constante arbitrária (resultado de combinar
e
).
- Isolando
:
- Para simplificar a notação, podemos escrever
onde agora
é uma constante arbitrária real.
Passo 7
Resolver para
e discutir domínio:
- Aplicando o logaritmo (lembrando que
), obtemos
- Portanto a solução geral é
onde
é uma constante arbitrária.
- Observação importante sobre domínio: para que a expressão faça sentido real, a quantidade dentro do logaritmo deve ser positiva, ou seja
Essa desigualdade determina para quais
a solução com dada constante
está definida.
Passo 8
Comentário didático final e intuição rápida:
- Resumindo a técnica usada: fatorar termos, separar variáveis (colocar
com e com ), integrar cada lado e isolar . - Um pequeno check de consistência: como
para todo (variando entre e ), a derivada tem mesmo sinal não-negativo quando , o que é coerente com a forma obtida da solução (o log negativo tende a produzir uma função que não diminui onde definida).