(2.00 pontos) Resolva a EDO y^{\prime}=e^{y}+e^{y} \cos (2 x)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dada a equação diferencial ordinária de primeira ordem y'(x)=e^{y(x)}+e^{y(x)}\cos(2x).
  • A incógnita é a função y(x).
  • O que pedir é: encontrar a solução geral y(x) (ou seja, todas as soluções em termos de uma constante arbitrária).

Passo 2

Primeira simplificação algébrica (organizar a equação):
  • Observa-se que os termos do lado direito têm o fator comum e^{y(x)}. Posso escrever
y'=e^{y}+e^{y}\cos(2x)=e^{y}\bigl(1+\cos(2x)\bigr).
  • Aqui uso a notação y'=\dfrac{dy}{dx} e escrevo explicitamente a dependência quando necessário.

Passo 3

Separação de variáveis (colocar os y de um lado e os x do outro):
  • Como e^{y}>0 para todo y, é permitido dividir ambos os lados por e^{y}. Fazendo isso obtemos
\frac{dy}{e^{y}}= \bigl(1+\cos(2x)\bigr)\,dx.
  • Reescrevendo o lado esquerdo de forma mais conveniente:
e^{-y}\,dy = \bigl(1+\cos(2x)\bigr)\,dx.
  • Explicação rápida do porquê: separar variáveis significa isolar todas as expressões que dependem de y multiplicando dy num lado e todas as que dependem de x multiplicando dx no outro, para então integrar ambos os lados.

Passo 4

Integração dos dois lados — lado em y:
  • Vamos integrar em y o lado esquerdo:
\int e^{-y}\,dy.
  • Um lembrete útil: a derivada de e^{-y} em relação a y é \dfrac{d}{dy}e^{-y}=-e^{-y}. Assim,
\int e^{-y}\,dy = -e^{-y} + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração (vamos juntar as constantes ao final).

Passo 5

Integração dos dois lados — lado em x:
  • Agora integramos em x o lado direito:
\int \bigl(1+\cos(2x)\bigr)\,dx.
  • Separando:
\int 1\,dx = x,\qquad \int \cos(2x)\,dx = \tfrac{1}{2}\sin(2x),
porque \dfrac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x), então para inverter essa derivada aparece o fator \tfrac{1}{2}.
  • Assim
\int \bigl(1+\cos(2x)\bigr)\,dx = x + \tfrac{1}{2}\sin(2x) + C_2,
com C_2 outra constante de integração.

Passo 6

Igualar os resultados das integrais e tratar a constante:
  • Juntando as integrais temos
-e^{-y} = x + \tfrac{1}{2}\sin(2x) + C,
onde C representa uma constante arbitrária (resultado de combinar C_1 e -C_2).
  • Isolando e^{-y}:
e^{-y} = -x - \tfrac{1}{2}\sin(2x) + C.
  • Para simplificar a notação, podemos escrever
e^{-y} = C - x - \tfrac{1}{2}\sin(2x),
onde agora C é uma constante arbitrária real.

Passo 7

Resolver para y e discutir domínio:
  • Aplicando o logaritmo (lembrando que e^{-y}>0), obtemos
-y = \ln\!\bigl(C - x - \tfrac{1}{2}\sin(2x)\bigr).
  • Portanto a solução geral é
y(x) = -\ln\!\bigl(C - x - \tfrac{1}{2}\sin(2x)\bigr),
onde C é uma constante arbitrária.
  • Observação importante sobre domínio: para que a expressão faça sentido real, a quantidade dentro do logaritmo deve ser positiva, ou seja
C - x - \tfrac{1}{2}\sin(2x) > 0.
Essa desigualdade determina para quais x a solução com dada constante C está definida.

Passo 8

Comentário didático final e intuição rápida:
  • Resumindo a técnica usada: fatorar termos, separar variáveis (colocar y com dy e x com dx), integrar cada lado e isolar y.
  • Um pequeno check de consistência: como 1+\cos(2x)\ge 0 para todo x (variando entre 0 e 2), a derivada y' tem mesmo sinal não-negativo quando e^{y}>0, o que é coerente com a forma obtida da solução (o log negativo tende a produzir uma função que não diminui onde definida).

Resposta

y(x) = -\ln\!\bigl(C - x - \tfrac{1}{2}\sin(2x)\bigr), onde C é constante arbitrária e C - x - \tfrac{1}{2}\sin(2x)>0.

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