(2.50 pontos) Encontre a solução geral da equação
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Informações dadas e o que é pedido:
- A equação é de ordem 2.
- O lado direito é a soma de um polinômio de grau 1,
, e de uma exponencial, . - Quer-se a solução geral
, ou seja, a soma da solução geral da homogênea com uma particular.
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Para isso usamos a equação característica: assumimos soluções do tipo
e obtemos
Resolvendo a quadrática:
logo há uma raiz dupla
. Quando a equação característica tem raiz dupla
, a solução geral da homogênea é
Aplicando aqui (
) obtemos
onde
e
são constantes arbitrárias. (Breve explicação: a raiz dupla gera a solução adicional
porque é necessário ter duas soluções linearmente independentes.)
Passo 3
Procurar uma solução particular
para a equação não homogênea. Como o termo não homogêneo é soma de
(polinômio de grau 1) e
(exponencial), usamos o método dos coeficientes indeterminados e procuramos
como soma de uma parte polinomial e uma parte exponencial:
com
para
e
para
.
Escolhas de forma:
- Para
tentamos , pois o polinômio de grau 1 costuma ter essa forma. Verificamos ressonância: (que estaria relacionado a termos polinomiais) não é raiz da característica ( é a raiz), então não é preciso multiplicar por . - Para
tentamos . Verificamos ressonância: não é raiz da característica, então forma simples basta.
Passo 4
Determinar
. Calcular derivadas:
Aplicar o operador linear
:
Queremos que essa expressão iguale ao termo polinomial do lado direito, que é
. Portanto equacionamos coeficientes:
Da primeira vem
Da segunda:
Logo
Passo 5
Determinar
. Calcular derivadas:
Aplicar o operador:
Esse termo deve igualar à contribuição exponencial do lado direito, que é
. Então
Logo
Passo 6
Somar as partes particulares:
Passo 7
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias. Parabéns — terminei! Se quiser, posso mostrar como verificar a solução substituindo-a de volta na equação.