(2.50 pontos) Encontre a solução geral da equação y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=3 x-e^{x}.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''+4y'+4y=3x-e^{x}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A equação é de ordem 2.
  • O lado direito é a soma de um polinômio de grau 1, 3x, e de uma exponencial, -e^{x}.
  • Quer-se a solução geral y(x), ou seja, a soma da solução geral da homogênea com uma particular.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
y''+4y'+4y=0.
Para isso usamos a equação característica: assumimos soluções do tipo y=e^{rx} e obtemos
r^{2}+4r+4=0.
Resolvendo a quadrática:
r^{2}+4r+4=(r+2)^{2}=0,
logo há uma raiz dupla r=-2. Quando a equação característica tem raiz dupla r, a solução geral da homogênea é
y_{h}=(C_{1}+C_{2}x)e^{rx}.
Aplicando aqui ( r=-2) obtemos
y_{h}=(C_{1}+C_{2}x)e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Breve explicação: a raiz dupla gera a solução adicional x e^{rx} porque é necessário ter duas soluções linearmente independentes.)

Passo 3

Procurar uma solução particular y_{p} para a equação não homogênea. Como o termo não homogêneo é soma de 3x (polinômio de grau 1) e -e^{x} (exponencial), usamos o método dos coeficientes indeterminados e procuramos y_{p} como soma de uma parte polinomial e uma parte exponencial:
y_{p}=y_{p1}+y_{p2},
com y_{p1} para 3x e y_{p2} para -e^{x}.
Escolhas de forma:
  • Para 3x tentamos y_{p1}=ax+b, pois o polinômio de grau 1 costuma ter essa forma. Verificamos ressonância: r=0 (que estaria relacionado a termos polinomiais) não é raiz da característica ( -2 é a raiz), então não é preciso multiplicar por x.
  • Para -e^{x} tentamos y_{p2}=d e^{x}. Verificamos ressonância: r=1 não é raiz da característica, então forma simples d e^{x} basta.

Passo 4

Determinar y_{p1}=ax+b. Calcular derivadas:
y_{p1}'=a,\qquad y_{p1}''=0.
Aplicar o operador linear L[y]=y''+4y'+4y:
L[y_{p1}]=0+4a+4(ax+b)=4ax+4(a+b).
Queremos que essa expressão iguale ao termo polinomial do lado direito, que é 3x. Portanto equacionamos coeficientes:
4a=3,\qquad 4(a+b)=0.
Da primeira vem
a=\frac{3}{4}.
Da segunda:
a+b=0\quad\Rightarrow\quad b=-a=-\frac{3}{4}.
Logo
y_{p1}=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}.

Passo 5

Determinar y_{p2}=d e^{x}. Calcular derivadas:
y_{p2}'=d e^{x},\qquad y_{p2}''=d e^{x}.
Aplicar o operador:
L[y_{p2}]=d e^{x}+4d e^{x}+4d e^{x}=9d\,e^{x}.
Esse termo deve igualar à contribuição exponencial do lado direito, que é -e^{x}. Então
9d=-1\quad\Rightarrow\quad d=-\frac{1}{9}.
Logo
y_{p2}=-\frac{1}{9}e^{x}.

Passo 6

Somar as partes particulares:
y_{p}=y_{p1}+y_{p2}=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}-\frac{1}{9}e^{x}.

Passo 7

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}+y_{p}=(C_{1}+C_{2}x)e^{-2x}+\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}-\frac{1}{9}e^{x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Parabéns — terminei! Se quiser, posso mostrar como verificar a solução substituindo-a de volta na equação.

Resposta

y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{-2x}+\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}-\frac{1}{9}e^{x}

Exercícios relacionados