(3.00 pontos) Considere um sistema massa-mola. Seja
a posição da massa em função do tempo orientada de modo que
abaixo do equilíbrio. Suponha que
satisfaz a equação diferencial
a) Resolva o problema de valor inicial da equação
.
b) Como o movimento da solução do item a) se comporta quando
?
b) Como o movimento da solução do item a) se comporta quando
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial e as condições iniciais. Vou listar com clareza o que é pedido e o que foi fornecido:
- Equação diferencial não homogênea de segunda ordem:
- Condições iniciais:
O enunciado pede:
(a) resolver o problema de valor inicial acima;
(b) descrever como o movimento da solução do item (a) se comporta quando .
(a) resolver o problema de valor inicial acima;
(b) descrever como o movimento da solução do item (a) se comporta quando
Passo 2
Começamos resolvendo a equação homogênea associada para obter a solução geral homogênea. A homogênea é
Assumimos solução da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
Resolvendo a quadrática:
Como as raízes são complexas conjugadas
, a forma real da solução homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais. Explico: raízes complexas
geram termos
e
; aqui
dá decaimento exponencial
e
é a frequência das oscilações do termo transitório.
Passo 3
Agora procuramos uma solução particular
da equação completa. Como o termo forçante é
, tentamos o método dos coeficientes indeterminados com a forma
onde
e
são constantes reais a determinar. (Justificativa: forçamento senoidal de frequência
, e
não é raiz da equação característica, logo essa forma é adequada.)
Calculamos derivadas:
Substituindo na equação original:
Agrupando os termos em
e
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Assim obtemos o sistema linear para
:
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
Logo
. Portanto a solução particular é
Passo 4
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
Agora usamos as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro
. Avaliando em
:
Logo
Agora calculamos
. Derivando
:
A derivada do termo homogêneo (produto) é
A derivada da particular é
Avaliar em
:
Pela condição
e usando
:
Escrevendo em frações:
Portanto as constantes são
e
. Substituindo na expressão geral, a solução do problema de valor inicial é
Passo 5
Analisando o comportamento quando
:
-
O termo transitório é
. Como tem fator com coeficiente no expoente, ele decai exponencialmente para zero quando . Esse é o decaimento do efeito das condições iniciais (transiente). -
O termo permanente (regime estacionário forçado) é a solução particular
Logo
É útil também escrever esse regime estacionário em forma de amplitude e fase. Calculamos a amplitude
e a defasagem
tal que
. Assim
Interpretação física curta: a solução tende a uma oscilação forçada de frequência
(mesma da força
), com amplitude
e defasagem
; o comportamento inicial (oscilação de frequência
amortecida) desaparece por decaimento exponencial.
Resposta
Quando