(3.00 pontos) Considere um sistema massa-mola. Seja x(t) a posição da massa em função do tempo orientada de modo que x(t)>0 abaixo do equilíbrio. Suponha que x(t) satisfaz a equação diferencial
x^{\prime \prime}+2 x^{\prime}+5 x=5 \cos t
a) Resolva o problema de valor inicial da equação \operatorname{com} x(0)=-3, x^{\prime}(0)=2.
b) Como o movimento da solução do item a) se comporta quando t \rightarrow \infty ?

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial e as condições iniciais. Vou listar com clareza o que é pedido e o que foi fornecido:
  • Equação diferencial não homogênea de segunda ordem:
x'' + 2x' + 5x = 5\cos t.
  • Condições iniciais:
x(0) = -3,\qquad x'(0)=2.
O enunciado pede:
(a) resolver o problema de valor inicial acima;
(b) descrever como o movimento da solução do item (a) se comporta quando t\to\infty.

Passo 2

Começamos resolvendo a equação homogênea associada para obter a solução geral homogênea. A homogênea é
x''+2x'+5x=0.
Assumimos solução da forma x_h(t)=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2+2r+5=0.
Resolvendo a quadrática:
r=\frac{-2\pm\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{-16}}{2}=-1\pm 2i.
Como as raízes são complexas conjugadas r=-1\pm 2i, a forma real da solução homogênea é
x_h(t)=e^{-t}\big(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t\big),
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais. Explico: raízes complexas \alpha\pm i\beta geram termos e^{\alpha t}\cos(\beta t) e e^{\alpha t}\sin(\beta t); aqui \alpha=-1 dá decaimento exponencial e^{-t} e \beta=2 é a frequência das oscilações do termo transitório.

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular x_p(t) da equação completa. Como o termo forçante é 5\cos t, tentamos o método dos coeficientes indeterminados com a forma
x_p(t)=a\cos t + b\sin t,
onde a e b são constantes reais a determinar. (Justificativa: forçamento senoidal de frequência 1, e i não é raiz da equação característica, logo essa forma é adequada.)
Calculamos derivadas:
x_p'(t)=-a\sin t + b\cos t, \qquad x_p''(t)=-a\cos t - b\sin t.
Substituindo na equação original:
(-a\cos t - b\sin t) + 2(-a\sin t + b\cos t) + 5(a\cos t + b\sin t) = 5\cos t.
Agrupando os termos em \cos t e \sin t:
  • Coeficiente de \cos t:
(-a) + 2b + 5a = 4a + 2b.
  • Coeficiente de \sin t:
(-b) -2a + 5b = 4b - 2a.
Assim obtemos o sistema linear para a,b:
4a + 2b = 5, \qquad 4b - 2a = 0.
Da segunda equação vem 4b = 2a\Rightarrow b=\tfrac{a}{2}. Substituindo na primeira:
4a + 2\cdot\frac{a}{2}=4a + a =5a = 5 \Rightarrow a=1.
Logo b=\tfrac{1}{2}. Portanto a solução particular é
x_p(t)=\cos t + \tfrac{1}{2}\sin t.

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
x(t)=x_h(t)+x_p(t)=e^{-t}\big(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t\big) + \cos t + \tfrac{1}{2}\sin t.
Agora usamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Primeiro x(0)=-3. Avaliando em t=0:
x(0)=e^0\big(C_1\cos0 + C_2\sin0\big)+\cos0+\tfrac{1}{2}\sin0 = C_1 + 1.
Logo
C_1 + 1 = -3 \Rightarrow C_1 = -4.
Agora calculamos x'(t). Derivando x(t):
x'(t)=\frac{d}{dt}\big[e^{-t}(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t)\big] + \frac{d}{dt}\big(\cos t + \tfrac{1}{2}\sin t\big).
A derivada do termo homogêneo (produto) é
\frac{d}{dt}\big[e^{-t}(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t)\big] = e^{-t}\big((-C_1+2C_2)\cos 2t + (-C_2-2C_1)\sin 2t\big).
A derivada da particular é
\frac{d}{dt}\big(\cos t + \tfrac{1}{2}\sin t\big) = -\sin t + \tfrac{1}{2}\cos t.
Avaliar em t=0:
x'(0)=\big((-C_1+2C_2)\cdot 1 + (-C_2-2C_1)\cdot 0\big) + \big(0 + \tfrac{1}{2}\cdot 1\big) = -C_1 + 2C_2 + \tfrac{1}{2}.
Pela condição x'(0)=2 e usando C_1=-4:
-(-4) + 2C_2 + \tfrac{1}{2} = 2 \quad\Rightarrow\quad 4 + 2C_2 + \tfrac{1}{2}=2.
Escrevendo em frações:
\frac{9}{2} + 2C_2 = 2 \Rightarrow 2C_2 = 2 - \frac{9}{2} = -\frac{5}{2} \Rightarrow C_2 = -\frac{5}{4}.
Portanto as constantes são C_1=-4 e C_2=-\tfrac{5}{4}. Substituindo na expressão geral, a solução do problema de valor inicial é
x(t)=e^{-t}\Big(-4\cos 2t - \tfrac{5}{4}\sin 2t\Big) + \cos t + \tfrac{1}{2}\sin t.

Passo 5

Analisando o comportamento quando t\to\infty:
  • O termo transitório é e^{-t}\big(-4\cos 2t - \tfrac{5}{4}\sin 2t\big). Como tem fator e^{-t} com coeficiente -1 no expoente, ele decai exponencialmente para zero quando t\to\infty. Esse é o decaimento do efeito das condições iniciais (transiente).
  • O termo permanente (regime estacionário forçado) é a solução particular
x_p(t)=\cos t + \tfrac{1}{2}\sin t.
Logo
\lim_{t\to\infty} x(t) = \cos t + \tfrac{1}{2}\sin t.
É útil também escrever esse regime estacionário em forma de amplitude e fase. Calculamos a amplitude
R=\sqrt{1^2 + \big(\tfrac{1}{2}\big)^2}=\sqrt{\tfrac{5}{4}}=\tfrac{\sqrt{5}}{2},
e a defasagem \varphi tal que \tan\varphi=\tfrac{1}{2}. Assim
\cos t + \tfrac{1}{2}\sin t = \tfrac{\sqrt{5}}{2}\cos\big(t-\varphi\big), \qquad \varphi=\arctan\!\big(\tfrac{1}{2}\big).
Interpretação física curta: a solução tende a uma oscilação forçada de frequência 1 (mesma da força 5\cos t), com amplitude \tfrac{\sqrt{5}}{2} e defasagem \varphi; o comportamento inicial (oscilação de frequência 2 amortecida) desaparece por decaimento exponencial.

Resposta

x(t)=e^{-t}\Big(-4\cos 2t - \tfrac{5}{4}\sin 2t\Big) + \cos t + \tfrac{1}{2}\sin t\n
Quando t\to\infty, x(t)\to \cos t + \tfrac{1}{2}\sin t = \tfrac{\sqrt{5}}{2}\cos\big(t-\arctan(\tfrac{1}{2})\big).

Exercícios relacionados