O enunciado pede para resolver o sistema de equações não lineares usando o método de Newton Modificado (Newton simplificado) com (x_0,y_0)=(1,3)\) e tolerância \(\varepsilon=0{,}01\). O sistema é:
\[\begin{cases} y-x=2,\\[4pt] x^{2}+y^{2}=9. \end{cases}
Informações dadas:
Ponto inicial: (x_0,y_0)=(1,3)\].
- Tolerância para parada: \(\varepsilon=0{,}01.
- Deseja-se aplicar o método de Newton Modificado (Jacobiano calculado uma vez em (x_0,y_0) e mantido fixo).]
Passo 2
Explicação do método e fórmulas que vou usar (aula rápida e prática).
Defino o vetor função \,F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, cujas componentes são as equações do sistema:
Aqui f_1 e f_2 são as duas funções que devem ser simultaneamente zero no (ou nos) pontos solução.
A matriz Jacobiana J(x,y) é a matriz das derivadas parciais:
J(x,y)=\begin{pmatrix} \partial f_1/\partial x & \partial f_1/\partial y \\[4pt] \partial f_2/\partial x & \partial f_2/\partial y \end{pmatrix}.
Para o método de Newton padrão a cada iteração calcula-se J(x_k,y_k) e resolve-se um sistema linear. No Newton Modificado (simplificado) calcula-se J apenas no ponto inicial (x_0,y_0) e reutiliza-se sua inversa em todas as iterações. A fórmula iterativa que vou usar é
onde para um vetor v=(v_1,v_2) a norma euclidiana é
\|v\|_2=\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}}.
Observação prática: no caso 2\times2 é prático calcular explicitamente a inversa de J(x_0,y_0) usando a fórmula da inversa de uma matriz 2\times2. Para
Observação: note que após a primeira iteração a primeira equação y-x-2 ficou exatamente zero em (x_1,y_1) (isso aconteceu porque a primeira linha do Jacobiano e o esquema usado eliminaram essa componente do resíduo), mas a segunda equação ainda tem pequeno resíduo.]
Passo 5
Verificação da convergência após a primeira iteração:
Como 0{,}005526<\varepsilon(=0{,}01), o critério de parada é satisfeito. Assim a iteração é interrompida e tomamos (x_2,y_2) como a solução aproximada obtida pelo método.]
Passo 8
Checagem do resíduo das equações no ponto final aproximado (x_2,y_2):
(um resíduo muito pequeno, compatível com a precisão exigida).
Comentário final didático: o Newton Modificado costuma convergir mais lentamente que o Newton completo porque usa um Jacobiano fixo, mas é bem eficiente quando o custo de recomputar/inverter o Jacobiano é alto. No nosso caso com 2\times2 a economia não é tão crítica, mas o método ainda funcionou bem, chegando ao critério de parada em duas iterações.