Exemplo:

Resolver o sistema de equações não lineares utilizando o método de Newton Modificado com \left(x_{0}, y_{0}\right)=(1,3) e \varepsilon=0.01.
\left\{\begin{array}{l} y-x=2 \\\ x^{2}+y^{2}=9 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de equações não lineares usando o método de Newton Modificado (Newton simplificado) com (x_0,y_0)=(1,3)\) e tolerância \(\varepsilon=0{,}01\). O sistema é: \[\begin{cases} y-x=2,\\[4pt] x^{2}+y^{2}=9. \end{cases}
Informações dadas:
  • Ponto inicial: (x_0,y_0)=(1,3)\]. - Tolerância para parada: \(\varepsilon=0{,}01.
    - Deseja-se aplicar o método de Newton Modificado (Jacobiano calculado uma vez em (x_0,y_0) e mantido fixo).]

Passo 2

Explicação do método e fórmulas que vou usar (aula rápida e prática).
  • Defino o vetor função \,F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, cujas componentes são as equações do sistema:
F(x,y)=\begin{pmatrix}f_1(x,y)\\[4pt] f_2(x,y)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y-x-2\\[4pt] x^{2}+y^{2}-9\end{pmatrix}.
Aqui f_1 e f_2 são as duas funções que devem ser simultaneamente zero no (ou nos) pontos solução.
  • A matriz Jacobiana J(x,y) é a matriz das derivadas parciais:
J(x,y)=\begin{pmatrix} \partial f_1/\partial x & \partial f_1/\partial y \\[4pt] \partial f_2/\partial x & \partial f_2/\partial y \end{pmatrix}.
Para o método de Newton padrão a cada iteração calcula-se J(x_k,y_k) e resolve-se um sistema linear. No Newton Modificado (simplificado) calcula-se J apenas no ponto inicial (x_0,y_0) e reutiliza-se sua inversa em todas as iterações. A fórmula iterativa que vou usar é
\begin{pmatrix}x_{k+1}\\[4pt] y_{k+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_{k}\\[4pt] y_{k}\end{pmatrix} - J(x_0,y_0)^{-1}\,F(x_k,y_k).
  • Critério de parada: paro quando a norma euclidiana da mudança for menor que \varepsilon, isto é quando
\left\|\begin{pmatrix}x_{k+1}\\[4pt] y_{k+1}\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}x_k\\[4pt] y_k\end{pmatrix}\right\|_2 < \varepsilon,
onde para um vetor v=(v_1,v_2) a norma euclidiana é
\|v\|_2=\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}}.
  • Observação prática: no caso 2\times2 é prático calcular explicitamente a inversa de J(x_0,y_0) usando a fórmula da inversa de uma matriz 2\times2. Para
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}, \qquad A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix},
com \det A = ad-bc. Vou aplicar isso a seguir.]

Passo 3

Calcular J(x,y) simbolicamente e avaliar em (x_0,y_0)=(1,3).
  • Derivadas parciais:
\partial f_1/\partial x=-1,\qquad \partial f_1/\partial y=1,
\partial f_2/\partial x=2x,\qquad \partial f_2/\partial y=2y.
  • Logo a Jacobiana é
J(x,y)=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt] 2x & 2y\end{pmatrix}.
  • Avaliando em (1,3):
J(1,3)=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt] 2 & 6\end{pmatrix}.
  • Calculo do determinante:
\det J(1,3)=(-1)\cdot 6 - 1\cdot 2 = -6-2 = -8.
  • Inversa usando a fórmula para 2\times2:
J(1,3)^{-1}=\frac{1}{-8}\begin{pmatrix}6 & -1\\[4pt] -2 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{6}{8} & \tfrac{1}{8}\\[6pt] \tfrac{2}{8} & \tfrac{1}{8}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{3}{4} & \tfrac{1}{8}\\[6pt] \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{8}\end{pmatrix}.
  • Para facilitar cálculos numéricos, registro a inversa em forma decimal também:
J(1,3)^{-1}=\begin{pmatrix}-0{,}75 & 0{,}125\\[4pt] 0{,}25 & 0{,}125\end{pmatrix}.]

Passo 4

Primeira iteração: calcular F(x_0,y_0), \Delta_0=J(1,3)^{-1}F(x_0,y_0) e (x_1,y_1).
  • Avaliando F no ponto inicial:
F(1,3)=\begin{pmatrix}f_1(1,3)\\[4pt] f_2(1,3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3-1-2\\[4pt] 1^{2}+3^{2}-9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
  • Produto J(1,3)^{-1}F(1,3):
\Delta_0= \begin{pmatrix}-0{,}75 & 0{,}125\\[4pt] 0{,}25 & 0{,}125\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\[4pt] 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0{,}125\\[4pt] 0{,}125\end{pmatrix}.
  • Atualização:
\begin{pmatrix}x_1\\[4pt] y_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_0\\[4pt] y_0\end{pmatrix} - \Delta_0 = \begin{pmatrix}1\\[4pt] 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0{,}125\\[4pt] 0{,}125\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0{,}875\\[4pt] 2{,}875\end{pmatrix}.
  • Observação: note que após a primeira iteração a primeira equação y-x-2 ficou exatamente zero em (x_1,y_1) (isso aconteceu porque a primeira linha do Jacobiano e o esquema usado eliminaram essa componente do resíduo), mas a segunda equação ainda tem pequeno resíduo.]

Passo 5

Verificação da convergência após a primeira iteração:
  • Diferença entre (x_1,y_1) e (x_0,y_0):
\Delta^{(1)}= \begin{pmatrix}x_1-x_0\\[4pt] y_1-y_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-0{,}125\\[4pt] -0{,}125\end{pmatrix}.
  • Norma euclidiana:
\|\Delta^{(1)}\|_2=\sqrt{(-0{,}125)^{2}+(-0{,}125)^{2}} =\sqrt{2\cdot(0{,}125)^{2}} \approx 0{,}17678.
  • Como 0{,}17678>\varepsilon(=0{,}01), não paro; prossigo para a próxima iteração.]

Passo 6

Segunda iteração: calcular F(x_1,y_1), \Delta_1=J(1,3)^{-1}F(x_1,y_1) e (x_2,y_2).
  • Avaliando F em (x_1,y_1)=(0{,}875,\,2{,}875):
f_1(0{,}875,2{,}875)=2{,}875-0{,}875-2=0,
f_2(0{,}875,2{,}875)=0{,}875^{2}+2{,}875^{2}-9.
  • Calculo numérico de f_2:
0{,}875^{2}=0{,}765625,\qquad 2{,}875^{2}=8{,}265625,
f_2=0{,}765625+8{,}265625-9=0{,}03125.
  • Assim
F(0{,}875,2{,}875)=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0{,}03125\end{pmatrix}.
  • Produto com a inversa:
\Delta_1= \begin{pmatrix}-0{,}75 & 0{,}125\\[4pt] 0{,}25 & 0{,}125\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\[4pt] 0{,}03125\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0{,}125\cdot 0{,}03125\\[4pt] 0{,}125\cdot 0{,}03125\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0{,}00390625\\[4pt] 0{,}00390625\end{pmatrix}.
  • Atualização:
\begin{pmatrix}x_2\\[4pt] y_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0{,}875\\[4pt] 2{,}875\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0{,}00390625\\[4pt] 0{,}00390625\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0{,}87109375\\[4pt] 2{,}87109375\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação da convergência após a segunda iteração:
  • Diferença entre (x_2,y_2) e (x_1,y_1):
\Delta^{(2)}= \begin{pmatrix}x_2-x_1\\[4pt] y_2-y_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-0{,}00390625\\[4pt] -0{,}00390625\end{pmatrix}.
  • Norma euclidiana:
\|\Delta^{(2)}\|_2=\sqrt{2\cdot(0{,}00390625)^{2}} \approx 0{,}005526.
  • Como 0{,}005526<\varepsilon(=0{,}01), o critério de parada é satisfeito. Assim a iteração é interrompida e tomamos (x_2,y_2) como a solução aproximada obtida pelo método.]

Passo 8

Checagem do resíduo das equações no ponto final aproximado (x_2,y_2):
  • Primeira equação:
f_1(0{,}87109375,\,2{,}87109375)=2{,}87109375-0{,}87109375-2=0,
exatamente zero com os números usados (por efeito do método).
  • Segunda equação:
f_2(0{,}87109375,\,2{,}87109375)=0{,}87109375^{2}+2{,}87109375^{2}-9\approx 0{,}000122
(um resíduo muito pequeno, compatível com a precisão exigida).
  • Comentário final didático: o Newton Modificado costuma convergir mais lentamente que o Newton completo porque usa um Jacobiano fixo, mas é bem eficiente quando o custo de recomputar/inverter o Jacobiano é alto. No nosso caso com 2\times2 a economia não é tão crítica, mas o método ainda funcionou bem, chegando ao critério de parada em duas iterações.

Resposta

\displaystyle (x,y)\approx\bigl(0{,}87109375,\;2{,}87109375\bigr)

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