( 2,50 pontos) Um pesquisador está estudando o efeito do tipo de fertilizante no crescimento do algodoeiro. Sabe-se que se for utilizado um determinado fertilizante orgánico após a muda do algodoeiro atingir 10 cm de altura, o crescimento da muda algodociro nos 3 meses seguintes tem distribuição normal com média 50 cm e desvio padrāo 4 cm .
a. (0,75 ponto) Se sortearmos uma muda de algodoeiro de 10 cm e utilizarmos esse fertilizante organico, qual a probabilidade da muda de algodoeiro crescer mais de 40 cm nos 3 meses seguintes?
Caso não tenha conseguido fazer o item a), atribua um valor qualquer para a resposta do item mencionado e faça os itens seguintes utilizando esse valor. Considere para os 2 itens a seguir que em um canteiro foram plantadas mudas de algodoeiro de 10 cm de altura e que em 70 % delas foi usado fertilizando organico e para o restante foi usado fertilizante químico. Usando este último, a probabilidade da muda crescer mais de 40 cm nos 3 meses seguintes é 0,8 .
b. (0,75 ponto) Se sortearmos desse canteiro uma muda ao acaso, qual a probabilidade dele crescer menos de 40 cm nos 3 meses seguintes e ter sido adubado com fertilizante orgánico?
c (1,09 ponto) Se sortearmos desse canteiro uma muda ao acaso, qual a probabilidade da muda crescer nos 3 meses seguintes mais de 40 cm ?

Passo 1

O enunciado estuda o crescimento de mudas de algodoeiro em 3 meses segundo o tipo de fertilizante. No caso do fertilizante orgânico, o crescimento G é N(mu=50,sigma=4). Vamos usar:
  1. Teorema de padronização para normal.
  2. Probabilidade conjunta P(Acap B)=P(A),P(Bmid A).
  3. Lei da probabilidade total.

Passo 2

Para o item (a) queremos
Pl(G>40midorgr) =;Pl(Z>40-504r) =;P(Z>-2,5) =Phi(2,5),
onde ZsimN(0,1). Da tabela normal Phi(2,5)approx0,9938. Logo
P(G>40midorg)approx0,9938

Passo 3

No item (b) buscamos
Pl(G<40 e orgr) =P(org);Pl(G<40midorgr)
Como P(org)=0,7 e P(G<40midorg)=1-0,9938=0,0062, temos
P(G<40 e org) =0,7times0,0062 =0,00434

Passo 4

No item (c) aplicamos a lei total:
P(G>40) =P(org),P(G>40midorg) +P(quím),P(G>40midquím) íí
Sabendo P(quím)=0,3í e P(G>40midquím)=0,8í, obtemos
P(G>40) =0,7times0,9938+0,3times0,8 approx0,69566+0,24 =0,93566

Resposta

(a) P(G>40midorg)approx0,9938
(b) P(G<40 e org)approx0,00434
(c) P(G>40)approx0,9357

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