Considere um conjunto de dados arbitrário W=(x1, x2, ldots, xn). O que ocorre com a variância do conjunto W se:
a) Multiplicarmos cada elemento do conjunto W por um número inteiro positivo K
b) Somarmos a cada elemento de W uma constante real C

Passo 1

O enunciado nos dá um conjunto de dados W=(x1,x2,dots,xn) e pergunta o que acontece com sua variância quando
  • (a) cada elemento é multiplicado por um inteiro positivo K,
  • (b) a cada elemento é somada uma constante real C.
    O conteúdo aqui é usar a definição de variância e aplicar as propriedades de escala (multiplicação) e de translação (adição de constante).

Passo 2

Definimos a variância de W como
Var(W) =1nsumi=1^nl(xi-xr)^2,
onde x=tfrac1nsumi=1^n xi.
Agora considere o conjunto W'=(Kx1,Kx2,dots,Kxn). Sua média é
x'=1nsumi=1^n Kxi =K,x
Logo,
Var(W') =1nsumi=1^nl(Kxi-x'r)^2 =1nsumi=1^nl(Kxi-Kxr)^2 =1nsumi=1^n K^2(xi-x)^2 =K^2,Var(W)

Passo 3

Agora considere o conjunto W''=(x1+C,x2+C,dots,xn+C). Sua média é
x''=1nsumi=1^n (xi+C) =x+C
A variância fica
Var(W'') =1nsumi=1^nl((xi+C)-x''r)^2 =1nsumi=1^nl(xi-xr)^2 =Var(W),
pois o termo C cancela na diferença dentro do quadrado.

Resposta

a) Var(KW)=K^2,Var(W)
b) Var(W+C)=Var(W)

Exercícios relacionados