( 2,75 pontos) Um fabricante de uma determinada marca de baterias para celulares afirma que a vida média útil de suas baterias é superior a 45 meses. Acredita-se que a
vida útil desta marca de baterias seja normalmente distribuida com desvio padrāo de 4,5 meses. Uma agência de proteção dos direitos do consumidor com o objetivo de verificar tal afirmação, selecionou uma amostra aleatória de 24 dessas baterias e as submeteu a teste obtendo-se uma vida útil média de 46,2 meses.
a. (0,25 ponto) Qual é o parâmetro de interesse?
b. ( 0,50 ponto) Considerando-se os objetivos da agência de proteção dos direitos do consumidor estabeleça as hipóteses em termos dos parâmetros e em termos do problema.
c. ( 0,50 ponto) O que significam os erros tipo I e tipo II em termos do problema?
d. (0,75 ponto) Conduza o teste de hipótese de interesse utilizando um nivel de significância de 3% a partir da construção da regiāo critica. Que conclusão é obtida?
e. ( 0,75 ponto) Calcule o valor-p do teste. Se o nivel de significância fosse de 9 %, a conclusão seria a mesma?

Passo 1

O problema é um teste de hipóteses para a vida média útil mu de baterias, assumindo que a vida é N(mu,,sigma^2) com sigma=4,5 meses conhecido. Foi coletada uma amostra de tamanho n=24 com média amostral bar x=46,2. Queremos verificar a alegação do fabricante de que mu>45 meses usando um nível de significância de 3%. Vamos aplicar o teste Z unilateral à direita:
Z=bar X-mu0sigma/raiz n

Passo 2

O parâmetro de interesse é a verdadeira vida média útil das baterias, isto é, mu.

Passo 3

Em termos de parâmetros escrevemos
H0:mu<=45 vs H1:mu>45
Em termos do problema:
(a) H0: a vida média útil das baterias não excede 45 meses.
(b) H1: a vida média útil das baterias é superior a 45 meses.

Passo 4

  • Erro do tipo I: rejeitar H0 (concluir que mu>45) quando na verdade mu<=45.
  • Erro do tipo II: não rejeitar H0 (concluir que não há evidência de mu>45) quando mu>45 de fato.

Passo 5

A estatística de teste é
Z=46,2-454,5/raiz24 =1,24,5/4,89898 approx1,20,9186 approx1,306
Para alpha=0,03 e teste unilateral à direita, o valor crítico é
z0,03 =Phi^-1(1-0,03) =Phi^-1(0,97) approx1,8808
Como 1,306<1,8808, não rejeitamos H0. Conclusão: não há evidência, a 3% de nível, de que a vida média exceda 45 meses.

Passo 6

O valor- p é
p = Pl(Z>=1,306r) =1-Phi(1,306) approx1-0,9047 approx0,0953
Para alpha=9% teríamos papprox0,0953>0,09, logo ainda não rejeitaríamos H0. A conclusão permanece a mesma.

Resposta

(a) O parâmetro de interesse é mu, a vida média útil das baterias.
(b)
,H0:mu<=45 (vida média não excede 45 meses)
,H1:mu>45 (vida média superior a 45 meses)
(c) Erro tipo I: rejeitar H0 quando mu<=45.
Erro tipo II: não rejeitar H0 quando mu>45.
(d) Z=1,306, valor crítico 1,8808; não rejeita H0; sem evidência de mu>45.
(e) papprox0,0953; para alpha=9% também não se rejeita H0.

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