(2.50 pontos) Sabendo que y_{1}(x)=x e y_{2}=x \ln (x) são soluções linearmente independentes da EDO x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0 para x>0, resolve a seguinte EDO:
O enunciado fornece a equação diferencial não-homogênea
x^{2}y''-x y'+y=2x,\qquad x>0,
e diz que já conhecemos duas soluções linearmente independentes da equação homogênea associada:
y_{1}(x)=x,\qquad y_{2}(x)=x\ln(x).
O que se pede: encontrar a solução geral da equação dada (ou seja, uma expressão que contenha as constantes arbitrárias da solução homogênea mais uma solução particular da equação não-homogênea).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
As soluções fundamentais da homogênea são y_{1}=x e y_{2}=x\ln(x).
O termo fonte (lado direito) da EDO é 2x.
O domínio é x>0 (importante porque usamos \ln(x) e transformações que exigem x>0).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão para aplicar métodos como variação de parâmetros. Dividindo a equação por x^{2} (válido porque x>0), obtemos
Comentário didático: o Wronskiano dá uma medida de independência linear; W(x)=x é diferente de zero para x>0, confirmando que y_{1} e y_{2} são de fato independentes no domínio considerado.
Passo 4
Aplicar variação de parâmetros para obter uma solução particular. A fórmula (padrão) para a solução particular usando as duas soluções fundamentais é
Agora integrar (podemos escolher constantes de integração zero nas integrais porque constantes multiplicadas por y_{1} ou y_{2} entram na solução homogênea):
\int \frac{2\ln(x)}{x}\,dx.
Fazendo a substituição u=\ln(x) (du=\dfrac{dx}{x}), obtemos