Sendo a derivada covariante do vetor um tensor de segunda ordem, mostre que a conexão se transforma conforme
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (vou listar com calma para não se perder):
- Foi dado que a derivada covariante de um vetor é um tensor de segunda ordem; em notação de índices, isso significa que
transforma como um tensor do tipo . - A tarefa é mostrar que a conexão (os coeficientes
) se transforma segundo a lei
- Informações relevantes que usaremos (essas são relações padrões de transformação e definição):
- Lei de transformação de componentes de vetor:
- Definição da derivada covariante aplicada a um campo vetorial (na base coordenada):
onde . - Lei de transformação de componentes de vetor:
- Não vamos resolver aqui, apenas listei o que temos e o que é pedido.
Passo 2
Expressar a exigência tensorial. Como
é um tensor tipo
, sob mudança de coordenadas deve valer:
Explicação rápida: à esquerda está a componente na nova base; à direita, usamos as matrizes jacobianas apropriadas para transformar um índice covariante (
) e um índice contravariante (
). Isso é a condição que força a transformação dos
.
Passo 3
Escrever a derivada covariante na coordenada primada em termos de
:
onde
e
.
Passo 4
Calcular
aplicando a regra da cadeia e a derivada do produto:
Desenvolvendo a derivada interna:
Portanto
Passo 5
Substituir esse resultado em
e usar
. Assim a expressão da esquerda (LHS) fica
Passo 6
Agora escrever a direita (RHS) da condição tensorial usando a definição original de
:
Ou seja,
Passo 7
Comparar LHS e RHS. Os termos que contêm
aparecem em ambos:
logo esses se cancelam. Restam os termos que multiplicam
. Igualando os coeficientes de
(lembre que
é arbitrário) obtemos:
Passo 8
Isolar
. Multiplicando ambos os lados por
(a inversa da jacobiana), usando
, chega-se a:
Esta é exatamente a lei de transformação pedida.
Passo 9
Interpretação final curta e amigável: a presença do segundo termo (com derivadas segundas das coordenadas) mostra por que
não é um tensor — ele tem um termo inhomogêneo que aparece quando se muda de coordenadas. Respira fundo: isso é normal e é por isso que a derivada covariante, construída com
, compensa essa falta de tensorialidade e garante que
seja tensorial.