Sendo a derivada covariante do vetor um tensor de segunda ordem, mostre que a conexão se transforma conforme
\Gamma_{\mu \nu}^{\alpha} \Longrightarrow \Gamma_{\sigma \lambda}^{\prime \beta}=\frac{\partial x^{\prime \beta}}{\partial x^{\alpha}} \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\prime \sigma}} \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\prime \lambda}} \Gamma_{\mu \nu}^{\alpha}-\frac{\partial^{2} x^{\prime \beta}}{\partial x^{\mu} \partial x^{\nu}} \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\prime \sigma}} \frac{\partial x^{\bar{\nu}}}{\partial x^{\prime \lambda}}

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (vou listar com calma para não se perder):
  • Foi dado que a derivada covariante de um vetor é um tensor de segunda ordem; em notação de índices, isso significa que \nabla_{\mu}V^{\alpha} transforma como um tensor do tipo (1,1).
  • A tarefa é mostrar que a conexão (os coeficientes \Gamma_{\mu\nu}^{\alpha}) se transforma segundo a lei
\Gamma_{\sigma \lambda}^{\prime \beta}=\frac{\partial x^{\prime \beta}}{\partial x^{\alpha}} \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\prime \sigma}} \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\prime \lambda}} \Gamma_{\mu \nu}^{\alpha}-\frac{\partial^{2} x^{\prime \beta}}{\partial x^{\mu} \partial x^{\nu}} \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\prime \sigma}} \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\prime \lambda}}.
  • Informações relevantes que usaremos (essas são relações padrões de transformação e definição):
    • Lei de transformação de componentes de vetor: V^{\prime\beta}=\dfrac{\partial x^{\prime\beta}}{\partial x^{\alpha}}V^{\alpha}.
    • Definição da derivada covariante aplicada a um campo vetorial (na base coordenada):
    \nabla_{\mu}V^{\alpha}=\partial_{\mu}V^{\alpha}+\Gamma_{\mu\nu}^{\alpha}V^{\nu},onde \partial_{\mu}=\dfrac{\partial}{\partial x^{\mu}}.
  • Não vamos resolver aqui, apenas listei o que temos e o que é pedido.

Passo 2

Expressar a exigência tensorial. Como \nabla_{\mu}V^{\alpha} é um tensor tipo (1,1), sob mudança de coordenadas deve valer:
\nabla'_{\sigma}V'^{\beta}=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}}\frac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}}\nabla_{\mu}V^{\alpha}.
Explicação rápida: à esquerda está a componente na nova base; à direita, usamos as matrizes jacobianas apropriadas para transformar um índice covariante ( \mu) e um índice contravariante ( \alpha). Isso é a condição que força a transformação dos \Gamma.

Passo 3

Escrever a derivada covariante na coordenada primada em termos de \Gamma':
\nabla'_{\sigma}V'^{\beta}=\partial'_{\sigma}V'^{\beta}+\Gamma'^{\beta}_{\sigma\lambda}V'^{\lambda},
onde \partial'_{\sigma}=\dfrac{\partial}{\partial x'^{\sigma}} e V'^{\beta}=\dfrac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}}V^{\alpha}.

Passo 4

Calcular \partial'_{\sigma}V'^{\beta} aplicando a regra da cadeia e a derivada do produto:
\partial'_{\sigma}V'^{\beta}=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}}\partial_{\mu}\!\left(\frac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}}V^{\alpha}\right).
Desenvolvendo a derivada interna:
\partial_{\mu}\!\left(\frac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}}V^{\alpha}\right) =\frac{\partial^{2} x'^{\beta}}{\partial x^{\mu}\partial x^{\alpha}}V^{\alpha} +\frac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}}\partial_{\mu}V^{\alpha}.
Portanto
\partial'_{\sigma}V'^{\beta} =\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}}\left(\frac{\partial^{2} x'^{\beta}}{\partial x^{\mu}\partial x^{\alpha}}V^{\alpha} +\frac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}}\partial_{\mu}V^{\alpha}\right).

Passo 5

Substituir esse resultado em \nabla'_{\sigma}V'^{\beta} e usar V'^{\lambda}=\dfrac{\partial x'^{\lambda}}{\partial x^{\nu}}V^{\nu}. Assim a expressão da esquerda (LHS) fica
\nabla'_{\sigma}V'^{\beta} =\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}}\frac{\partial^{2} x'^{\beta}}{\partial x^{\mu}\partial x^{\alpha}}V^{\alpha} +\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}}\frac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}}\partial_{\mu}V^{\alpha} +\Gamma'^{\beta}_{\sigma\lambda}\frac{\partial x'^{\lambda}}{\partial x^{\nu}}V^{\nu}.

Passo 6

Agora escrever a direita (RHS) da condição tensorial usando a definição original de \nabla_{\mu}V^{\alpha}:
\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}}\frac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}}\nabla_{\mu}V^{\alpha} =\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}}\frac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}}\left(\partial_{\mu}V^{\alpha}+\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}V^{\nu}\right).
Ou seja,
\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}}\frac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}}\partial_{\mu}V^{\alpha} +\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}}\frac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}V^{\nu}.

Passo 7

Comparar LHS e RHS. Os termos que contêm \partial_{\mu}V^{\alpha} aparecem em ambos:
\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}}\frac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}}\partial_{\mu}V^{\alpha},
logo esses se cancelam. Restam os termos que multiplicam V^{\nu}. Igualando os coeficientes de V^{\nu} (lembre que V^{\nu} é arbitrário) obtemos:
\Gamma'^{\beta}_{\sigma\lambda}\frac{\partial x'^{\lambda}}{\partial x^{\nu}} =\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}}\frac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu} -\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}}\frac{\partial^{2} x'^{\beta}}{\partial x^{\mu}\partial x^{\nu}}.

Passo 8

Isolar \Gamma'^{\beta}_{\sigma\lambda}. Multiplicando ambos os lados por \dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\lambda}} (a inversa da jacobiana), usando \dfrac{\partial x'^{\lambda}}{\partial x^{\nu}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\kappa}}=\delta^{\lambda}_{\kappa}, chega-se a:
\Gamma'^{\beta}_{\sigma\lambda} =\frac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}}\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}}\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\lambda}}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu} -\frac{\partial^{2} x'^{\beta}}{\partial x^{\mu}\partial x^{\nu}}\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}}\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\lambda}}.
Esta é exatamente a lei de transformação pedida.

Passo 9

Interpretação final curta e amigável: a presença do segundo termo (com derivadas segundas das coordenadas) mostra por que \Gamma^{\alpha}_{\mu\nu} não é um tensor — ele tem um termo inhomogêneo que aparece quando se muda de coordenadas. Respira fundo: isso é normal e é por isso que a derivada covariante, construída com \Gamma, compensa essa falta de tensorialidade e garante que \nabla_{\mu}V^{\alpha} seja tensorial.

Resposta

\Gamma'^{\beta}_{\sigma\lambda} =\frac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}}\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}}\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\lambda}}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu} -\frac{\partial^{2} x'^{\beta}}{\partial x^{\mu}\partial x^{\nu}}\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}}\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\lambda}}.

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