1. Dois corredores iniciam uma corrida no mesmo instante e terminam empatados. Prove que em algum momento durante a corrida, eles tinham a mesma velocidade. [Dica: Considere f(t)=g(t)-h(t), onde g e h são as duas posições dos corredores.]
  2. Um número a é chamado ponto fixo de uma função f se f(a)=a. Demonstre que se f^{\prime}(x) \neq 1 para todos os números reais x, então f tem no máximo um ponto fixo.

Passo 1

Vou organizar claramente o que cada enunciado dá e o que pede.
  • Problema 35:
    • Dados: existem duas funções posição g(t) e h(t) que descrevem as posições dos dois corredores ao longo do tempo. Eles iniciam a corrida no mesmo instante e terminam empatados. Ou seja, existe um instante final T>0 tal que g(0)=h(0) \qquad\text{e}\qquad g(T)=h(T).
    • Pedido: provar que em algum instante t\in(0,T) as velocidades se igualavam, isto é, existe c\in(0,T) tal que g'\text{(c)}=h'\text{(c)}.
  • Problema 36:
    • Dados: uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tal que f'(x)\neq 1 para todo x\in\mathbb{R}.
    • Pedido: demonstrar que f tem no máximo um ponto fixo, isto é, não podem existir dois pontos distintos a\neq b com f(a)=a e f(b)=b.

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicados de forma didática).
  • O que é derivada fisicamente e matematicamente:
    • Se g(t) é posição, então g'(t) é a velocidade instantânea no instante t. Matemáticamente, g'(t)=\lim_{h\to0}\dfrac{g(t+h)-g(t)}{h} quando esse limite existe.
    • Para aplicar teoremas que falam de derivadas, precisamos que as funções sejam contínuas no intervalo fechado e diferenciáveis no intervalo aberto correspondente.
  • Teorema de Rolle (ferramenta central aqui):
    • Enunciado (em palavras simples): se uma função f é contínua em [a,b], diferenciável em (a,b) e f(a)=f(b), então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que f'\text{(c)}=0.
    • Intuição e por que vale: como f é contínua em um intervalo fechado, ela atinge um máximo e um mínimo (Teorema do valor extremo). Se f(a)=f(b) e não é constante, então pelo menos um desses extremos ocorre dentro de (a,b). Em um extremo interior de uma função diferenciável, a derivada é 0 (isso é consequência do fato de que a tangente naquele ponto é horizontal). Assim existe c com f'\text{(c)}=0.
    • Observação prática: Rolle é frequentemente usada da seguinte forma — definir uma função apropriada cuja diferença nos extremos seja zero, e então concluir que a derivada dessa função anula em algum ponto interior.
Vou usar o Rolle explicitamente nos dois problemas. Se precisar, explico novamente cada passo do Rolle com mais detalhes.

Passo 3

Resolução do problema 35 — preparação formal.
  • Definimos a função diferença
    f(t)=g(t)-h(t).
    Esta função mede a diferença de posição entre os dois corredores em cada instante t.
  • Verificações necessárias para aplicar Rolle:
    • Pela hipótese física do problema assumimos que g e h são contínuas em [0,T] e diferenciáveis em (0,T) (isso é natural para funções posição/velocidade). Então f é contínua em [0,T] e diferenciável em (0,T), pois soma e diferença de contínuas/diferenciáveis são contínuas/diferenciáveis.
    • Pelas igualdades iniciais e finais dadas no enunciado, temos f(0)=g(0)-h(0)=0 \qquad\text{e}\qquad f(T)=g(T)-h(T)=0.
    • Portanto f(0)=f(T) e as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas.

Passo 4

Aplicação do Teorema de Rolle ao problema 35 e conclusão.
  • Pelo Teorema de Rolle existe c\in(0,T) tal que f'\text{(c)}=0.
  • Calculamos f'(t) em termos das derivadas de g e h: f'(t)=g'(t)-h'(t).Logo, em t=c obtemos 0=f'\text{(c)}=g'\text{(c)}-h'\text{(c)}\quad\Rightarrow\quad g'\text{(c)}=h'\text{(c)}.
  • Interpretação: em algum instante c\in(0,T) as velocidades dos dois corredores eram exatamente iguais. Isso é exatamente o que o enunciado pedia para provar.

Passo 5

Comentários didáticos extras sobre o problema 35 (para fixar o entendimento).
  • Intuição simples: se dois corredores começam juntos e terminam juntos, a diferença de posição entre eles começa em zero e volta a zero; a função que mede essa diferença tem que subir/descer no meio e, nesse processo, ter um pico ou vale — naquele pico/vale a taxa de variação da diferença é zero, o que significa igual velocidade instantânea.
  • Exemplo concreto (pequeno exercício mental): se g(t)=2t e h(t)=t não satisfazem g(0)=h(0) e g(T)=h(T) simultaneamente, então não se aplica. Mas se g(t)=t^2 e h(t)=t^2 (mesma função) a igualdade de velocidades vale em todo instante; Rolle dá um ponto interior onde a diferença anula a derivada — aqui a diferença é identicamente zero.

Passo 6

Resolução do problema 36 — preparação formal.
  • Recordando: um ponto a é ponto fixo de f se f(a)=a.
  • Estratégia (pura e simples): assumir que existem dois pontos fixos distintos e obter uma contradição usando Rolle.
  • Definimos a função g(x)=f(x)-x.Observação: g é diferenciável em \mathbb{R} (diferença de duas funções diferenciáveis; a função x\mapsto x tem derivada 1 em todo lugar), e g'(x)=f'(x)-1.

Passo 7

Aplicação do argumento por contradição no problema 36.
  • Suponha, por contradição, que existam dois pontos fixos distintos a e b com a\neq b, isto é, f(a)=a \qquad\text{e}\qquad f(b)=b.
  • Então, pelos valores desses pontos, g(a)=f(a)-a=0 \qquad\text{e}\qquad g(b)=f(b)-b=0.Assim g(a)=g(b).

Passo 8

Aplicando Rolle a g e obtendo a contradição.
  • Como g é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), pelo Teorema de Rolle existe c\in(a,b) tal que g'\text{(c)}=0.
  • Mas g'\text{(c)}=f'\text{(c)}-1. Portanto f'\text{(c)}-1=0, isto é, f'\text{(c)}=1.
  • Isso contradiz a hipótese do enunciado de que f'(x)\neq 1 para todo x\in\mathbb{R}. Logo a suposição de existência de dois pontos fixos distintos é falsa.

Passo 9

Conclusão do problema 36 e comentário final.
  • Conclui-se que não podem existir dois pontos fixos distintos; portanto f tem no máximo um ponto fixo.
  • Comentário extra: a condição f'(x)\neq 1 em toda a reta é essencial para forçar a contradição via g'\text{(c)}=0. Se, por exemplo, f(x)=x então f'(x)=1 e há infinitos pontos fixos — aqui a hipótese falha e não se pode concluir o resultado.

Resposta

(35) Existe c\in(0,T) tal que g'\text{(c)}=h'\text{(c)}.
(36) f tem no máximo um ponto fixo.

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