- Dois corredores iniciam uma corrida no mesmo instante e terminam empatados. Prove que em algum momento durante a corrida, eles tinham a mesma velocidade. [Dica: Considere
, onde
e
são as duas posições dos corredores.]
- Um número
é chamado ponto fixo de uma função
se
. Demonstre que se
para todos os números reais
, então
tem no máximo um ponto fixo.
Passo 1
Vou organizar claramente o que cada enunciado dá e o que pede.
-
Problema 35:
- Dados: existem duas funções posição
e que descrevem as posições dos dois corredores ao longo do tempo. Eles iniciam a corrida no mesmo instante e terminam empatados. Ou seja, existe um instante final tal que - Pedido: provar que em algum instante
as velocidades se igualavam, isto é, existe tal que
- Dados: existem duas funções posição
-
Problema 36:
- Dados: uma função
tal que para todo . - Pedido: demonstrar que
tem no máximo um ponto fixo, isto é, não podem existir dois pontos distintos com e .
- Dados: uma função
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicados de forma didática).
-
O que é derivada fisicamente e matematicamente:
- Se
é posição, então é a velocidade instantânea no instante . Matemáticamente, quando esse limite existe. - Para aplicar teoremas que falam de derivadas, precisamos que as funções sejam contínuas no intervalo fechado e diferenciáveis no intervalo aberto correspondente.
- Se
-
Teorema de Rolle (ferramenta central aqui):
- Enunciado (em palavras simples): se uma função
é contínua em , diferenciável em e , então existe pelo menos um ponto tal que . - Intuição e por que vale: como
é contínua em um intervalo fechado, ela atinge um máximo e um mínimo (Teorema do valor extremo). Se e não é constante, então pelo menos um desses extremos ocorre dentro de . Em um extremo interior de uma função diferenciável, a derivada é (isso é consequência do fato de que a tangente naquele ponto é horizontal). Assim existe com . - Observação prática: Rolle é frequentemente usada da seguinte forma — definir uma função apropriada cuja diferença nos extremos seja zero, e então concluir que a derivada dessa função anula em algum ponto interior.
- Enunciado (em palavras simples): se uma função
Vou usar o Rolle explicitamente nos dois problemas. Se precisar, explico novamente cada passo do Rolle com mais detalhes.
Passo 3
Resolução do problema 35 — preparação formal.
-
Definimos a função diferençaEsta função mede a diferença de posição entre os dois corredores em cada instante
. -
Verificações necessárias para aplicar Rolle:
- Pela hipótese física do problema assumimos que
e são contínuas em e diferenciáveis em (isso é natural para funções posição/velocidade). Então é contínua em e diferenciável em , pois soma e diferença de contínuas/diferenciáveis são contínuas/diferenciáveis. - Pelas igualdades iniciais e finais dadas no enunciado, temos
- Portanto
e as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas.
- Pela hipótese física do problema assumimos que
Passo 4
Aplicação do Teorema de Rolle ao problema 35 e conclusão.
- Pelo Teorema de Rolle existe
tal que - Calculamos
em termos das derivadas de e : Logo, em obtemos - Interpretação: em algum instante
as velocidades dos dois corredores eram exatamente iguais. Isso é exatamente o que o enunciado pedia para provar.
Passo 5
Comentários didáticos extras sobre o problema 35 (para fixar o entendimento).
- Intuição simples: se dois corredores começam juntos e terminam juntos, a diferença de posição entre eles começa em zero e volta a zero; a função que mede essa diferença tem que subir/descer no meio e, nesse processo, ter um pico ou vale — naquele pico/vale a taxa de variação da diferença é zero, o que significa igual velocidade instantânea.
- Exemplo concreto (pequeno exercício mental): se
e não satisfazem e simultaneamente, então não se aplica. Mas se e (mesma função) a igualdade de velocidades vale em todo instante; Rolle dá um ponto interior onde a diferença anula a derivada — aqui a diferença é identicamente zero.
Passo 6
Resolução do problema 36 — preparação formal.
- Recordando: um ponto
é ponto fixo de se . - Estratégia (pura e simples): assumir que existem dois pontos fixos distintos e obter uma contradição usando Rolle.
- Definimos a função
Observação: é diferenciável em (diferença de duas funções diferenciáveis; a função tem derivada em todo lugar), e
Passo 7
Aplicação do argumento por contradição no problema 36.
- Suponha, por contradição, que existam dois pontos fixos distintos
e com , isto é, - Então, pelos valores desses pontos,
Assim .
Passo 8
Aplicando Rolle a
e obtendo a contradição.
- Como
é contínua em e diferenciável em , pelo Teorema de Rolle existe tal que - Mas
. Portanto , isto é, - Isso contradiz a hipótese do enunciado de que
para todo . Logo a suposição de existência de dois pontos fixos distintos é falsa.
Passo 9
Conclusão do problema 36 e comentário final.
- Conclui-se que não podem existir dois pontos fixos distintos; portanto
tem no máximo um ponto fixo. - Comentário extra: a condição
em toda a reta é essencial para forçar a contradição via . Se, por exemplo, então e há infinitos pontos fixos — aqui a hipótese falha e não se pode concluir o resultado.
Resposta
(35) Existe
tal que
.
(36)
tem no máximo um ponto fixo.