- (a) Mostre que um polinômio de grau 3 tem, no máximo, três raízes reais.
(b) Mostre que um polinômio de grau
tem, no máximo,
raízes reais.
- (a) Suponha que
seja derivável em
e tenha duas raízes. Mostre que
tem pelo menos uma raiz.
(b) Suponha que
seja duas vezes derivável em
e tenha três raízes. Mostre que
tem pelo menos uma raiz real.
(b) Mostre que um polinômio de grau
(b) Suponha que
Passo 1
Vou separar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos no meio do raciocínio.
Questões dadas:
-
- (a) Diz respeito a um polinômio de grau 3; pede: mostrar que ele tem, no máximo, três raízes reais.
-
- (b) Generaliza: polinómio de grau
; pede: mostrar que tem, no máximo, raízes reais.
- (b) Generaliza: polinómio de grau
-
- (a) Diz que
é derivável em e tem duas raízes; pede: mostrar que tem pelo menos uma raiz.
- (a) Diz que
-
- (b) Diz que
é duas vezes derivável em e tem três raízes; pede: mostrar que tem pelo menos uma raiz real.
- (b) Diz que
Informações relevantes fornecidas (que usaremos):
- Nas questões 21(a) e 21(b) estamos lidando com polinômios não nulos com grau indicado (3 ou
). - Nas questões 22(a) e 22(b) temos hipóteses de diferenciabilidade (uma vez ou duas vezes) sobre toda a reta e a existência de 2 ou 3 zeros de
.
Passo 2
Vamos reunir e explicar um fato-chave sobre polinômios que vamos usar: o Teorema do Resto / Teorema do Fator.
Enunciado do Teorema do Fator (explicação didática): se
é um polinômio (com coeficientes reais) e
é um número real tal que
, então o polinômio
divide
. Isso significa que existe um polinômio
com coeficientes reais tal que
Por que isso é razoável? Quando
, a divisão polinomial de
por
dá resto zero (essa é a versão do Teorema do Resto). A consequência prática é que cada raiz distinta “corta” o grau do polinômio em pelo menos 1 quando fatoramos.
Observação importante: isto vale para raízes distintas; se
for uma raiz múltipla de multiplicidade
, então
divide
, reduzindo o grau em pelo menos
.
Passo 3
Aplicando o Teorema do Fator ao caso concreto: polinômio de grau 3.
Seja
um polinômio real de grau
(isto é, o coeficiente de
é não nulo). Suponha, para chegar a uma contradição, que
tivesse quatro raízes reais distintas
. Pelo Teorema do Fator, teríamos
para algum polinômio
com coeficientes reais. Mas o produto
já é um polinômio de grau
. Multiplicando por
(mesmo se
for constante não nulo) daria um polinômio de grau pelo menos
. Isso contradiz a hipótese de que
tem grau
. Logo a hipótese inicial está errada: não podem existir quatro raízes distintas. Portanto um polinômio de grau
tem, no máximo, três raízes reais distintas.
Comentário didático extra: se um polinômio de grau
tiver raízes repetidas (multiplicidade maior que 1), elas contam para a fatoração, mas a soma das multiplicidades das raízes reais não pode exceder
porque a soma das multiplicidades de todas as raízes (reais e complexas) é exatamente o grau do polinômio.
Passo 4
Generalizando a mesma ideia para grau
.
Seja
um polinômio real de grau
(com coeficiente líder não nulo). Suponha, por contradição, que
tivesse
raízes reais distintas
. Pelo Teorema do Fator,
divide
, ou seja existe
tal que
Mas o produto dos
fatores
tem grau
, então o lado direito tem grau pelo menos
(a menos que
seja o polinômio zero, o que não é o caso porque
tem grau
). Isso contradiz que
tem grau
. Logo não é possível ter
raízes distintas. Portanto um polinômio de grau
tem, no máximo,
raízes reais distintas.
Observação didática: quando se fala “no máximo
raízes” costuma-se incluir multiplicidades, dizendo que a soma das multiplicidades das raízes (reais e complexas) é igual ao grau
. Aqui a afirmação usada é a versão sobre raízes distintas: não há mais de
raízes distintas.
Passo 5
Agora passamos às questões sobre derivadas. Primeiro precisamos de um resultado central: o Teorema de Rolle. Vou enunciá-lo e provar rapidamente (é curto e importante).
Teorema de Rolle (enunciado didático): Seja
uma função contínua no intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto
. Se
, então existe pelo menos um ponto
tal que
.
Intuição: se a função começa e termina no mesmo valor, então ou é constante (todos os derivados são zero) ou em algum ponto entre
e
ela atinge um máximo ou um mínimo estrito; nesse ponto interior a derivada deve ser zero (isso é um caso do que se chama Teorema de Fermat: se uma função diferenciável tem extremo local interior, a derivada é zero).
Pequena prova: pela continuidade em
a função
atinge máximo e mínimo no intervalo (Teorema do Valor Extremo). Se
é constante em
então
para todo
e estamos feitos. Caso contrário, ou o máximo ou o mínimo é atingido em algum ponto interior
(pois
impede que ambos os extremos sejam apenas nas extremidades com valores diferentes). Nesse ponto interior
temos um extremo local e, por Fermat,
. Isso conclui a prova.
Passo 6
Aplicando Rolle para mostrar 22(a).
Hipótese:
é derivável em
e tem duas raízes reais. Ou seja, existem reais
e
com
tais que
e
.
As hipóteses de Rolle são satisfeitas para
no intervalo
:
é contínua em
e diferenciável em
(derivável em
garante isso), e
. Pelo Teorema de Rolle existe
tal que
. Assim
tem pelo menos uma raiz real. Essa é exatamente a conclusão pedida.
Comentário didático: geometricamente, se a curva cruza o eixo
em dois pontos, entre esses pontos a inclinação da curva deve ser zero em algum momento — uma crista ou um vale — então a derivada se anula.
Passo 7
Aplicando Rolle de forma encadeada para mostrar 22(b).
Hipótese:
é duas vezes derivável em
(portanto
e
são contínuas e
é diferenciável) e
tem três raízes reais. Ou seja, existem
tais que
.
Passo intercalar 1: aplique Rolle a
no intervalo
. Como
e
satisfaz as hipóteses, existe
tal que
.
Passo intercalar 2: aplique Rolle a
no intervalo
. Como
, existe
tal que
.
Agora temos dois pontos distintos
e
com
e
. A função
é contínua em
e diferenciável em
(pois
é duas vezes derivável), e
. Aplicando o Teorema de Rolle à função
no intervalo
, concluímos que existe
tal que
.
Portanto
tem pelo menos uma raiz real. Isso é exatamente o que se pedia.
Comentário didático: a ideia é simples e bonita: três zeros de
geram dois zeros de
(um entre cada par de zeros sucessivos de
), e dois zeros de
forçam, por Rolle, um zero de
.
Passo 8
Recapitulando pedagogicamente (para fixar na hora da prova):
- Para polinômios: use o Teorema do Fator / Resto — cada raiz distinta dá um fator linear
, portanto não podem existir mais raízes distintas do que o grau do polinômio. - Para funções diferenciáveis: use o Teorema de Rolle (e repita a aplicação encadeada quando precisar alcançar derivadas de ordem superior).
Dica prática para a prova: ao ver “mostre que X’ tem uma raiz”, procure imediatamente por dois pontos onde a função original toma o mesmo valor (normalmente dois zeros), e aplique Rolle; para derivada de ordem 2, repita o processo.
Resposta
- (a) Um polinômio de grau
tem, no máximo, três raízes reais. - (b) Um polinômio de grau
tem, no máximo, raízes reais. - (a) Se
é derivável em e tem duas raízes, então tem pelo menos uma raiz. - (b) Se
é duas vezes derivável em e tem três raízes, então tem pelo menos uma raiz real.