1. (a) Mostre que um polinômio de grau 3 tem, no máximo, três raízes reais.
    (b) Mostre que um polinômio de grau n tem, no máximo, n raízes reais.
  2. (a) Suponha que f seja derivável em \mathbb{R} e tenha duas raízes. Mostre que f^{\prime} tem pelo menos uma raiz.
    (b) Suponha que f seja duas vezes derivável em \mathbb{R} e tenha três raízes. Mostre que f^{\prime \prime} tem pelo menos uma raiz real.

Passo 1

Vou separar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos no meio do raciocínio.
Questões dadas:
    1. (a) Diz respeito a um polinômio de grau 3; pede: mostrar que ele tem, no máximo, três raízes reais.
    1. (b) Generaliza: polinómio de grau n; pede: mostrar que tem, no máximo, n raízes reais.
    1. (a) Diz que f é derivável em \mathbb{R} e tem duas raízes; pede: mostrar que f' tem pelo menos uma raiz.
    1. (b) Diz que f é duas vezes derivável em \mathbb{R} e tem três raízes; pede: mostrar que f'' tem pelo menos uma raiz real.
Informações relevantes fornecidas (que usaremos):
  • Nas questões 21(a) e 21(b) estamos lidando com polinômios não nulos com grau indicado (3 ou n).
  • Nas questões 22(a) e 22(b) temos hipóteses de diferenciabilidade (uma vez ou duas vezes) sobre toda a reta e a existência de 2 ou 3 zeros de f.

Passo 2

Vamos reunir e explicar um fato-chave sobre polinômios que vamos usar: o Teorema do Resto / Teorema do Fator.
Enunciado do Teorema do Fator (explicação didática): se p(x) é um polinômio (com coeficientes reais) e r é um número real tal que p(r)=0, então o polinômio (x-r) divide p(x). Isso significa que existe um polinômio q(x) com coeficientes reais tal que
p(x)=(x-r)\,q(x).
Por que isso é razoável? Quando p(r)=0, a divisão polinomial de p(x) por (x-r) dá resto zero (essa é a versão do Teorema do Resto). A consequência prática é que cada raiz distinta “corta” o grau do polinômio em pelo menos 1 quando fatoramos.
Observação importante: isto vale para raízes distintas; se r for uma raiz múltipla de multiplicidade m, então (x-r)^m divide p(x), reduzindo o grau em pelo menos m.

Passo 3

Aplicando o Teorema do Fator ao caso concreto: polinômio de grau 3.
Seja p(x) um polinômio real de grau 3 (isto é, o coeficiente de x^3 é não nulo). Suponha, para chegar a uma contradição, que p tivesse quatro raízes reais distintas r_1,r_2,r_3,r_4. Pelo Teorema do Fator, teríamos
p(x)=(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)(x-r_4)\,s(x),
para algum polinômio s(x) com coeficientes reais. Mas o produto (x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)(x-r_4) já é um polinômio de grau 4. Multiplicando por s(x) (mesmo se s for constante não nulo) daria um polinômio de grau pelo menos 4. Isso contradiz a hipótese de que p tem grau 3. Logo a hipótese inicial está errada: não podem existir quatro raízes distintas. Portanto um polinômio de grau 3 tem, no máximo, três raízes reais distintas.
Comentário didático extra: se um polinômio de grau 3 tiver raízes repetidas (multiplicidade maior que 1), elas contam para a fatoração, mas a soma das multiplicidades das raízes reais não pode exceder 3 porque a soma das multiplicidades de todas as raízes (reais e complexas) é exatamente o grau do polinômio.

Passo 4

Generalizando a mesma ideia para grau n.
Seja p(x) um polinômio real de grau n (com coeficiente líder não nulo). Suponha, por contradição, que p tivesse n+1 raízes reais distintas r_1,\dots,r_{n+1}. Pelo Teorema do Fator, (x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_{n+1}) divide p(x), ou seja existe s(x) tal que
p(x)=(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_{n+1})\,s(x).
Mas o produto dos n+1 fatores (x-r_i) tem grau n+1, então o lado direito tem grau pelo menos n+1 (a menos que s seja o polinômio zero, o que não é o caso porque p tem grau n). Isso contradiz que p tem grau n. Logo não é possível ter n+1 raízes distintas. Portanto um polinômio de grau n tem, no máximo, n raízes reais distintas.
Observação didática: quando se fala “no máximo n raízes” costuma-se incluir multiplicidades, dizendo que a soma das multiplicidades das raízes (reais e complexas) é igual ao grau n. Aqui a afirmação usada é a versão sobre raízes distintas: não há mais de n raízes distintas.

Passo 5

Agora passamos às questões sobre derivadas. Primeiro precisamos de um resultado central: o Teorema de Rolle. Vou enunciá-lo e provar rapidamente (é curto e importante).
Teorema de Rolle (enunciado didático): Seja g uma função contínua no intervalo fechado [a,b] e diferenciável no intervalo aberto (a,b). Se g(a)=g(b), então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que g'\text{(c)}=0.
Intuição: se a função começa e termina no mesmo valor, então ou é constante (todos os derivados são zero) ou em algum ponto entre a e b ela atinge um máximo ou um mínimo estrito; nesse ponto interior a derivada deve ser zero (isso é um caso do que se chama Teorema de Fermat: se uma função diferenciável tem extremo local interior, a derivada é zero).
Pequena prova: pela continuidade em [a,b] a função g atinge máximo e mínimo no intervalo (Teorema do Valor Extremo). Se g é constante em [a,b] então g'(x)=0 para todo x\in(a,b) e estamos feitos. Caso contrário, ou o máximo ou o mínimo é atingido em algum ponto interior c\in(a,b) (pois g(a)=g(b) impede que ambos os extremos sejam apenas nas extremidades com valores diferentes). Nesse ponto interior c temos um extremo local e, por Fermat, g'\text{(c)}=0. Isso conclui a prova.

Passo 6

Aplicando Rolle para mostrar 22(a).
Hipótese: f é derivável em \mathbb{R} e tem duas raízes reais. Ou seja, existem reais a e b com a<b tais que f(a)=0 e f(b)=0.
As hipóteses de Rolle são satisfeitas para g=f no intervalo [a,b]: f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b) (derivável em \mathbb{R} garante isso), e f(a)=f(b). Pelo Teorema de Rolle existe c\in(a,b) tal que f'\text{(c)}=0. Assim f' tem pelo menos uma raiz real. Essa é exatamente a conclusão pedida.
Comentário didático: geometricamente, se a curva cruza o eixo x em dois pontos, entre esses pontos a inclinação da curva deve ser zero em algum momento — uma crista ou um vale — então a derivada se anula.

Passo 7

Aplicando Rolle de forma encadeada para mostrar 22(b).
Hipótese: f é duas vezes derivável em \mathbb{R} (portanto f e f' são contínuas e f' é diferenciável) e f tem três raízes reais. Ou seja, existem a<b<c tais que f(a)=f(b)=f\text{(c)}=0.
Passo intercalar 1: aplique Rolle a f no intervalo [a,b]. Como f(a)=f(b) e f satisfaz as hipóteses, existe d_1\in(a,b) tal que f'(d_1)=0.
Passo intercalar 2: aplique Rolle a f no intervalo [b,c]. Como f(b)=f\text{(c)}, existe d_2\in(b,c) tal que f'(d_2)=0.
Agora temos dois pontos distintos d_1 e d_2 com d_1<d_2 e f'(d_1)=f'(d_2)=0. A função f' é contínua em [d_1,d_2] e diferenciável em (d_1,d_2) (pois f é duas vezes derivável), e f'(d_1)=f'(d_2). Aplicando o Teorema de Rolle à função f' no intervalo [d_1,d_2], concluímos que existe e\in(d_1,d_2) tal que (f')'(e)=f''(e)=0.
Portanto f'' tem pelo menos uma raiz real. Isso é exatamente o que se pedia.
Comentário didático: a ideia é simples e bonita: três zeros de f geram dois zeros de f' (um entre cada par de zeros sucessivos de f), e dois zeros de f' forçam, por Rolle, um zero de f''.

Passo 8

Recapitulando pedagogicamente (para fixar na hora da prova):
  • Para polinômios: use o Teorema do Fator / Resto — cada raiz distinta dá um fator linear (x-r), portanto não podem existir mais raízes distintas do que o grau do polinômio.
  • Para funções diferenciáveis: use o Teorema de Rolle (e repita a aplicação encadeada quando precisar alcançar derivadas de ordem superior).
Dica prática para a prova: ao ver “mostre que X’ tem uma raiz”, procure imediatamente por dois pontos onde a função original toma o mesmo valor (normalmente dois zeros), e aplique Rolle; para derivada de ordem 2, repita o processo.

Resposta

  1. (a) Um polinômio de grau 3 tem, no máximo, três raízes reais.
  2. (b) Um polinômio de grau n tem, no máximo, n raízes reais.
  3. (a) Se f é derivável em \mathbb{R} e tem duas raízes, então f' tem pelo menos uma raiz.
  4. (b) Se f é duas vezes derivável em \mathbb{R} e tem três raízes, então f'' tem pelo menos uma raiz real.

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