(1.50 pontos) Um tanque inicialmente contém 600 litros de água salgada com 100 gramas de sal dissolvido. Uma outra salmoura é bombeada para dentro do tangue a uma taxa de 4 litros por minuto. A concentração de sal nessa segunda salmoura é de 3 gramas por litro. A soluçāo é mantida bem misturada e bombeada para fora na mesma taxa. Quanto sal haveria no tanque após 300 minutos?
Passo 1
Vamos resumir o que está acontecendo aqui. Temos um tanque com 600 litros de água salgada que já contém 100 gramas de sal. Está entrando uma salmoura nova a uma taxa de 4 litros por minuto, com concentração de 3 gramas de sal por litro. Ao mesmo tempo, a mistura dentro do tanque está saindo na mesma taxa de 4 litros por minuto. Nosso objetivo é descobrir quanto sal haverá no tanque após 300 minutos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mistura e taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o sal está entrando e saindo do tanque. A salmoura que entra traz sal para o tanque, e a mistura que sai leva parte do sal que já está no tanque. Precisamos calcular a taxa de entrada e a taxa de saída de sal.
Passo 3
A taxa de entrada de sal é simples de calcular: estamos adicionando 4 litros por minuto, cada litro com 3 gramas de sal. Então, a taxa de entrada de sal é:
Passo 4
Agora, para a taxa de saída de sal. A concentração de sal na mistura que está saindo depende de quanta sal está atualmente no tanque. Vamos chamar $ S(t) $ a quantidade de sal no tanque no tempo $ t $. Como o tanque sempre tem 600 litros (entrada e saída na mesma taxa), a concentração de sal no tanque é $ \frac{S(t)}{600} $ gramas por litro. Então, a taxa de saída de sal é:
Passo 5
Com as taxas de entrada e saída, podemos montar uma equação diferencial que descreve como a quantidade de sal no tanque muda ao longo do tempo:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Trata-se de uma equação linear de primeira ordem. Ela pode ser escrita como:
Para resolver, encontramos o fator integrante $ \mu(t) $:
Multiplicamos a equação toda por $ \mu(t) $:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados em relação a $ t $:
Onde $ C $ é a constante de integração. Simplificando:
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial para encontrar $ C $. Sabemos que no tempo $ t = 0 $, há 100 gramas de sal no tanque:
Então,
Portanto, a solução da equação é:
Passo 8
Finalmente, substituímos $ t = 300 $ minutos para encontrar a quantidade de sal no tanque após 300 minutos:
Calculando $ e^{-2} \approx 0,1353 $:
Resposta
Após 300 minutos, haverá aproximadamente 1.571 gramas de sal no tanque.