Classifique cada sequencia, a seguir em: Crescente, Decrescente, não-monótona, limitada superiormente, limitada inferiormente. Indique se a sequencia é convergente ou divergente
n^nn!n=1^infty

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência an=n^nn! quanto a monotonicidade (crescente, decrescente ou não-monótona), limitações superiores e inferiores e convergência.

Passo 2

Para verificar se a sequência é crescente ou decrescente, calculamos a razão an+1an:
an+1an =(n+1)^n+1/(n+1)!n^n/n! =(n+1)^n+1(n+1),n^n =l(1+1nr)^n
Como para todo n>=1 vale (1+1/n)^n>1, temos an+1/an>1, logo a sequência é estritamente crescente.

Passo 3

Para saber se há limite finito, note que limntoinfty(1+1/n)^n=e>1. Quando a razão entre termos consecutivos tende a um valor maior que 1, a sequência cresce sem parar e anto+infty. Portanto, não existe um teto finito para an, isto é, não é limitada superiormente.

Passo 4

Como todos os termos an são positivos, a sequência é limitada inferiormente (por zero, por exemplo), mas não limitada superiormente. E como anto+infty, a sequência é divergente.

Passo 5

Em resumo, a sequência é estritamente crescente, limitada inferiormente, não limitada superiormente e divergente.

Resposta

Crescente; limitada inferiormente; não limitada superiormente; divergente.

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