( 2,50 pontos) Traçar a curva característica de um sistema de recalque que transporta 35 \mathrm{L} / \mathrm{s} de água com a bomba funcionando 24 horas. O sistema tem as seguintes características: comprimento da linha de recalque de 480 m ; comprimento da linha de sucção de 13 m ; tubulação de ferro fundido ( \mathrm{f}=0,015 ); altura geométrica de sucção de 4,5 \mathrm{~m}; altura geométrica de recalque de 80 m ; comprimento equivalente das peças especiais na sucção =45,5 \mathrm{~m}; comprimento equivalente das peças especiais no recalque =18,4 \mathrm{~m}.
H_{m}=H_{g}+r Q^{n}
Para a fórmula Universal:
n=2 \quad \text { e } \quad r=\frac{8 f}{\pi^{2} g D^{5}} L_{v}

Passo 1

O enunciado pede que eu “trace a curva característica do sistema de recalque” sabendo que o sistema transporta 35\\ \mathrm{L/s} (bomba funcionando 24 h — informação de operação contínua, não afeta diretamente a curva), e fornece as seguintes informações:
  • Vazão de projeto: Q=35\\ \mathrm{L/s}.
  • Comprimento da linha de recalque: L_{\text{recalque}}=480\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da linha de sucção: L_{\text{sucção}}=13\\ \mathrm{m}çã.
  • Tubulação em ferro fundido com fator de atrito: f=0{,}015.
  • Altura geométrica de sucção: H_{\text{suc}}=4{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Altura geométrica de recalque: H_{\text{rec}}=80\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento equivalente das peças especiais na sucção: L_{\text{eq,suc}}=45{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento equivalente das peças especiais no recalque: L_{\text{eq,rec}}=18{,}4\\ \mathrm{m}.
  • Fórmula do sistema: H_{m}=H_{g}+r Q^{n}.
  • “Fórmula universal” dada: n=2 e \displaystyle r=\frac{8 f}{\pi^{2} g D^{5}} L_{v}.
O que falta no enunciado (informação necessária para obter valores numéricos completos):
  • O diâmetro interno da tubulação D (em metros). Sem D não é possível calcular numericamente o coeficiente r (que depende de D^{-5}) e, portanto, não é possível traçar numericamente a curva final. Vou, contudo, calcular tudo que é possível simbolicamente e mostrar como obter a curva; em seguida apresento exemplos numéricos para diâmetros típicos (para você ver como fica na prática).

Passo 2

Unidades e conversões importantes (tem que estar certinho na prova):
  • Converter vazão para unidades SI (metros cúbicos por segundo):
Q = 35\\ \mathrm{L/s} = 35\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}/s} = 0{,}035\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • A “comprimento virtual total” L_{v} que entra na fórmula é a soma dos comprimentos reais mais os comprimentos equivalentes das peças especiais (peguei esses comprimentos do enunciado). Logo:
L_{v}=L_{\text{sucção}}+L_{\text{recalque}}+L_{\text{eq,suc}}+L_{\text{eq,rec}}.çã
Substituindo os números (todos extraídos do enunciado):
L_{v}=13 + 480 + 45{,}5 + 18{,}4 = 556{,}9\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Qual é H_{g} (a parte estática da curva)?
Explicação prática: a altura geométrica total que a bomba deve vencer é a diferença entre a cota de recalque e a cota de sucção — ou seja, a bomba eleva do nível de sucção até o nível de recalque. Assim, assumindo que as alturas geométricas dadas são essas cotas, o head estático é
H_{g}=H_{\text{rec}}-H_{\text{suc}} = 80 - 4{,}5 = 75{,}5\\ \mathrm{m}.
(Se a interpretação do enunciado fosse diferente — por exemplo, se as duas alturas fossem medidas a partir de referências distintas — o procedimento é o mesmo: calcular a diferença de nível. Aqui escolhi a interpretação usual: diferença de cota entre recalque e sucção.)

Passo 4

Derivação didática da expressão para r (passo a passo, para gravar na prova):
Partindo da perda de carga por atrito de Darcy–Weisbach ao longo de um comprimento equivalente L:
h_{f}=f\frac{L}{D}\frac{v^{2}}{2g},
onde:
  • h_{f} é a perda de carga (m),
  • f é o fator de atrito adimensional (dado),
  • L é o comprimento equivalente (m),
  • D é o diâmetro interno (m),
  • v é a velocidade média do fluido (m/s),
  • g é a gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}).
Relacionamos v com Q por v=Q/A, com A=\pi D^{2}/4. Assim
v=\frac{4Q}{\pi D^{2}}.
Substituindo v em h_{f}:
h_{f}=f\frac{L}{D}\frac{1}{2g}\left(\frac{4Q}{\pi D^{2}}\right)^{2} = f\frac{L}{D}\frac{1}{2g}\frac{16 Q^{2}}{\pi^{2} D^{4}} = \frac{8 f L}{\pi^{2} g}\frac{Q^{2}}{D^{5}}.
Portanto a parte quadrática do head (proporcional a Q^{2}) pode ser escrita como r Q^{2} com
\boxed{\displaystyle r=\frac{8 f L_{v}}{\pi^{2} g D^{5}}.}
Isto coincide com a fórmula dada no enunciado. Observe que o elevado sensível em D ( D^{5}) explica por que o diâmetro influencia fortemente as perdas — reduzir o diâmetro aumenta muito r.

Passo 5

Montando a curva de sistema (expressão final) em termos de D:
  • Já calculei L_{v}=556{,}9\\ \mathrm{m} e H_{g}=75{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Substituindo f=0{,}015, L_{v}=556{,}9\\ \mathrm{m} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}} na expressão de r obtemos (coloquei vírgula como separador decimal):
\displaystyle r=\frac{8\cdot 0{,}015\cdot 556{,}9}{\pi^{2}\cdot 9{,}81\;D^{5}} \approx \frac{0{,}6899}{D^{5}},
onde D está em metros e o coeficiente numérico tem unidades consistentes para que r Q^{2} dê metros quando Q está em \mathrm{m^{3}/s}.
Assim a curva característica do sistema (curva de perdas + estático) fica, de forma geral:
\boxed{\displaystyle H_{m}(Q)=H_{g}+r Q^{2}=75{,}5 + \frac{0{,}6899}{D^{5}}\,Q^{2},}
com Q em \mathrm{m^{3}/s} e D em \mathrm{m}.
Observação didática: graficamente esta curva é uma parábola que intercepta o eixo H em H(0)=75{,}5\\ \mathrm{m} (head estático) e cresce com Q^{2} (abre para cima). Para encontrar o ponto de operação é preciso intersectar essa curva com a curva da bomba (fornecida pelo fabricante). Sem a curva da bomba não se determina a vazão real; com a curva da bomba encontra-se a interseção.

Passo 6

Exemplos numéricos (para você ver valores concretos e treinar montar o gráfico na prova). Avalio H_{m} na vazão de projeto Q=0{,}035\\ \mathrm{m^{3}/s} para diâmetros típicos (peguei estes D como exemplos; não estavam no enunciado):
  • Para D=0{,}10\\ \mathrm{m}:
r\approx \frac{0{,}6899}{(0{,}10)^{5}}=6{,}899\times 10^{4},\qquad rQ^{2}\approx 6{,}899\times 10^{4}\cdot (0{,}035)^{2}\approx 84{,}5\\ \mathrm{m},
logo H_{m}\approx 75{,}5+84{,}5=160{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Para D=0{,}15\\ \mathrm{m}:
r\approx \frac{0{,}6899}{(0{,}15)^{5}}\approx 9{,}082\times 10^{3},\qquad rQ^{2}\approx 9{,}082\times 10^{3}\cdot (0{,}035)^{2}\approx 11{,}13\\ \mathrm{m},
logo H_{m}\approx 75{,}5+11{,}13=86{,}63\\ \mathrm{m}.
  • Para D=0{,}20\\ \mathrm{m}:
r\approx \frac{0{,}6899}{(0{,}20)^{5}}\approx 2{,}156\times 10^{3},\qquad rQ^{2}\approx 2{,}156\times 10^{3}\cdot (0{,}035)^{2}\approx 2{,}64\\ \mathrm{m},
logo H_{m}\approx 75{,}5+2{,}64=78{,}14\\ \mathrm{m}.
  • Para D=0{,}25\\ \mathrm{m}:
r\approx \frac{0{,}6899}{(0{,}25)^{5}}\approx 706{,}9,\qquad rQ^{2}\approx 706{,}9\cdot (0{,}035)^{2}\approx 0{,}866\\ \mathrm{m},
logo H_{m}\approx 75{,}5+0{,}866=76{,}37\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida: diâmetros pequenos implicam perdas muito grandes (curva muito íngreme), diâmetros maiores deixam a curva quase plana (perdas menores). Isso mostra porque a escolha do diâmetro é crítica.

Passo 7

Como traçar a curva na prova (receita passo a passo, sem calculadora pesada):
  1. Calcule L_{v} somando comprimentos reais e equivalentes (já fiz: 556{,}9\\ \mathrm{m}).
  2. Calcule H_{g} como diferença de cota entre recalque e sucção (aqui 75{,}5\\ \mathrm{m}).
  3. Use a fórmula
\displaystyle H_{m}(Q)=H_{g}+\frac{8 f L_{v}}{\pi^{2} g D^{5}}\,Q^{2}.
  1. Converta Q para \mathrm{m^{3}/s} e escolha um D (ou use o D do projeto, se dado). Se o enunciado não der D, declare que falta esse dado e apresente a curva em função de D (como fiz acima).
  2. Para desenhar, calcule H_{m} em vários Q (por exemplo Q=0,\\\ 0{,}01,\\\ 0{,}02,\\\ 0{,}03,\\\ 0{,}035,\\\ 0{,}04,\\\ 0{,}05\\ \mathrm{m^{3}/s}) e ligue os pontos; a curva será uma parábola com vértice em Q=0,\\ H=H_{g}.

Passo 8

Observação final importante para a prova (motivação):
  • Se o enunciado pedir apenas a equação ou o esboço da curva, basta apresentar H_{m}(Q)=75{,}5 + r Q^{2} com r dado simbolicamente ou numericamente se D estiver disponível.
  • Se o enunciado der também a curva da bomba (ou um ponto da bomba), o ponto de operação é a interseção dessa parábola com a curva da bomba. Você então resolve H_{\text{bomba}}(Q)=H_{m}(Q) para obter Q_{\text{oper}}.

Resposta

L_{v}=556{,}9\\ \mathrm{m}\n
H_{g}=H_{\text{rec}}-H_{\text{suc}}=80-4{,}5=75{,}5\\ \mathrm{m}\n
\displaystyle r=\frac{8\cdot 0{,}015\cdot 556{,}9}{\pi^{2}\cdot 9{,}81\;D^{5}}\approx\frac{0{,}6899}{D^{5}}\n
\displaystyle H_{m}(Q)=75{,}5+\frac{0{,}6899}{D^{5}}\,Q^{2}\quad\big(Q\\ \text{em}\\ \mathrm{m^{3}/s},\\ D\\ \text{em m}\big)\n
Exemplos em Q=0{,}035\\ \mathrm{m^{3}/s}:\n
D=0{,}10\\ \mathrm{m}\Rightarrow H_{m}\approx 160{,}0\\ \mathrm{m}\n
D=0{,}15\\ \mathrm{m}\Rightarrow H_{m}\approx 86{,}63\\ \mathrm{m}\n
D=0{,}20\\ \mathrm{m}\Rightarrow H_{m}\approx 78{,}14\\ \mathrm{m}\n
D=0{,}25\\ \mathrm{m}\Rightarrow H_{m}\approx 76{,}37\\ \mathrm{m}

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