( 2,50 pontos) Traçar a curva característica de um sistema de recalque que transporta 35
de água com a bomba funcionando 24 horas. O sistema tem as seguintes características: comprimento da linha de recalque de 480 m ; comprimento da linha de sucção de 13 m ; tubulação de ferro fundido (
); altura geométrica de sucção de
; altura geométrica de recalque de 80 m ; comprimento equivalente das peças especiais na sucção
; comprimento equivalente das peças especiais no recalque
.
Para a fórmula Universal:
Passo 1
O enunciado pede que eu “trace a curva característica do sistema de recalque” sabendo que o sistema transporta
(bomba funcionando 24 h — informação de operação contínua, não afeta diretamente a curva), e fornece as seguintes informações:
- Vazão de projeto:
. - Comprimento da linha de recalque:
. - Comprimento da linha de sucção:
. - Tubulação em ferro fundido com fator de atrito:
. - Altura geométrica de sucção:
. - Altura geométrica de recalque:
. - Comprimento equivalente das peças especiais na sucção:
. - Comprimento equivalente das peças especiais no recalque:
. - Fórmula do sistema:
. - “Fórmula universal” dada:
e .
O que falta no enunciado (informação necessária para obter valores numéricos completos):
- O diâmetro interno da tubulação
(em metros). Sem não é possível calcular numericamente o coeficiente (que depende de ) e, portanto, não é possível traçar numericamente a curva final. Vou, contudo, calcular tudo que é possível simbolicamente e mostrar como obter a curva; em seguida apresento exemplos numéricos para diâmetros típicos (para você ver como fica na prática).
Passo 2
Unidades e conversões importantes (tem que estar certinho na prova):
- Converter vazão para unidades SI (metros cúbicos por segundo):
- A “comprimento virtual total”
que entra na fórmula é a soma dos comprimentos reais mais os comprimentos equivalentes das peças especiais (peguei esses comprimentos do enunciado). Logo:
Substituindo os números (todos extraídos do enunciado):
Passo 3
Qual é
(a parte estática da curva)?
Explicação prática: a altura geométrica total que a bomba deve vencer é a diferença entre a cota de recalque e a cota de sucção — ou seja, a bomba eleva do nível de sucção até o nível de recalque. Assim, assumindo que as alturas geométricas dadas são essas cotas, o head estático é
Explicação prática: a altura geométrica total que a bomba deve vencer é a diferença entre a cota de recalque e a cota de sucção — ou seja, a bomba eleva do nível de sucção até o nível de recalque. Assim, assumindo que as alturas geométricas dadas são essas cotas, o head estático é
(Se a interpretação do enunciado fosse diferente — por exemplo, se as duas alturas fossem medidas a partir de referências distintas — o procedimento é o mesmo: calcular a diferença de nível. Aqui escolhi a interpretação usual: diferença de cota entre recalque e sucção.)
Passo 4
Derivação didática da expressão para
(passo a passo, para gravar na prova):
Partindo da perda de carga por atrito de Darcy–Weisbach ao longo de um comprimento equivalente
:
onde:
-
é a perda de carga (m), -
é o fator de atrito adimensional (dado), -
é o comprimento equivalente (m), -
é o diâmetro interno (m), -
é a velocidade média do fluido (m/s), -
é a gravidade ( ).
Relacionamos
com
por
, com
. Assim
Substituindo
em
:
Portanto a parte quadrática do head (proporcional a
) pode ser escrita como
com
Isto coincide com a fórmula dada no enunciado. Observe que o elevado sensível em
(
) explica por que o diâmetro influencia fortemente as perdas — reduzir o diâmetro aumenta muito
.
Passo 5
Montando a curva de sistema (expressão final) em termos de
:
- Já calculei
e . - Substituindo
, e na expressão de obtemos (coloquei vírgula como separador decimal):
onde
está em metros e o coeficiente numérico tem unidades consistentes para que
dê metros quando
está em
.
Assim a curva característica do sistema (curva de perdas + estático) fica, de forma geral:
com
em
e
em
.
Observação didática: graficamente esta curva é uma parábola que intercepta o eixo
em
(head estático) e cresce com
(abre para cima). Para encontrar o ponto de operação é preciso intersectar essa curva com a curva da bomba (fornecida pelo fabricante). Sem a curva da bomba não se determina a vazão real; com a curva da bomba encontra-se a interseção.
Passo 6
Exemplos numéricos (para você ver valores concretos e treinar montar o gráfico na prova). Avalio
na vazão de projeto
para diâmetros típicos (peguei estes
como exemplos; não estavam no enunciado):
- Para
:
logo
- Para
:
logo
- Para
:
logo
- Para
:
logo
Interpretação rápida: diâmetros pequenos implicam perdas muito grandes (curva muito íngreme), diâmetros maiores deixam a curva quase plana (perdas menores). Isso mostra porque a escolha do diâmetro é crítica.
Passo 7
Como traçar a curva na prova (receita passo a passo, sem calculadora pesada):
- Calcule
somando comprimentos reais e equivalentes (já fiz: ). - Calcule
como diferença de cota entre recalque e sucção (aqui ). - Use a fórmula
- Converta
para e escolha um (ou use o do projeto, se dado). Se o enunciado não der , declare que falta esse dado e apresente a curva em função de (como fiz acima). - Para desenhar, calcule
em vários (por exemplo ) e ligue os pontos; a curva será uma parábola com vértice em .
Passo 8
Observação final importante para a prova (motivação):
- Se o enunciado pedir apenas a equação ou o esboço da curva, basta apresentar
com dado simbolicamente ou numericamente se estiver disponível. - Se o enunciado der também a curva da bomba (ou um ponto da bomba), o ponto de operação é a interseção dessa parábola com a curva da bomba. Você então resolve
para obter .
Resposta
Exemplos em