Questão 3. (2 pontos) Sabemos que a equação diferencial
y^{\prime \prime}+4 x y^{\prime}+Q(x) y=0
possui duas soluções linearmente independentes da forma y_{1}(x)=u(x) e y_{2}(x)=x \cdot u(x), onde u(0)=1. Determine sua solução geral.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem
y'' + 4x\,y' + Q(x)\,y = 0,
e afirma que existem duas soluções linearmente independentes da forma
y_1(x)=u(x),\qquad y_2(x)=x\,u(x),
com a condição inicial u(0)=1. A tarefa é determinar a solução geral da equação (isto é, obter a expressão explícita de todas as soluções, em termos de constantes arbitrárias).
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é homogênea e linear de segunda ordem, com coeficiente de y' igual a 4x.
  • Duas soluções independentes são u(x) e x u(x).
  • Valor em zero: u(0)=1.

Passo 2

Vamos usar o conceito de Wronskiano e a fórmula de Abel, porque isso nos permite relacionar as duas soluções sem conhecer Q(x) inicialmente.
Definição do Wronskiano: para duas funções y_1,y_2 soluções, o Wronskiano é
W(y_1,y_2)(x)=y_1(x)\,y_2'(x)-y_2(x)\,y_1'(x).
Fórmula de Abel: para a equação
y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = 0,
o Wronskiano satisfaz a equação diferencial de primeira ordem
W'(x) = -p(x)\,W(x).
Explicação rápida de porquê: differentiate W=y_1 y_2' - y_2 y_1', substituir y_i''=-p y_i' - q y_i e simplificar; o termo em q se cancela e sobra W'=-pW. Isso é uma identidade válida para quaisquer duas soluções da equação linear homogênea.
No nosso caso temos p(x)=4x. Assim pela integração direta obtemos
W(x)=C \exp\!\biggl(-\int 4x\,dx\biggr)=C \exp(-2x^2),
onde C é uma constante.

Passo 3

Agora calculemos o Wronskiano usando as soluções específicas y_1=u e y_2=xu.
Primeiro calcule y_2'=(x u)' = u + x u'. Então
W(u,xu)=u\cdot(u + x u') - x u\cdot u' = u^2 + x u u' - x u u' = u^2.
Portanto, para todas x vale
W(x)=u(x)^2.

Passo 4

Comparando com a expressão dada pela fórmula de Abel, temos
u(x)^2 = C \exp(-2x^2).
Usamos a informação u(0)=1 para determinar C: em x=0 a igualdade dá 1^2 = C \exp(0), ou seja C=1. Logo
u(x)^2 = \exp(-2x^2).
Para determinar u(x) tomamos a raiz positiva ou negativa. Como u(0)=1>0, escolhemos a raiz positiva:
u(x)=\exp(-x^2).
Observação: a escolha do sinal oposto daria uma função com u(0)=-1, em desacordo com a condição dada.

Passo 5

Agora que sabemos u(x)=\exp(-x^2), podemos escrever explicitamente as duas soluções independentes:
y_1(x)=\exp(-x^2),\qquad y_2(x)=x\exp(-x^2).
Podemos também determinar Q(x) (opcional para encontrar a equação completa): calculemos u' e u'' para testar na equação.
u'(x) = -2x\,\exp(-x^2),\qquad u''(x)=(-2+4x^2)\exp(-x^2).
Substituindo y=u na equação y''+4x y' + Q(x) y=0 obtemos
\bigl((-2+4x^2) + 4x(-2x) + Q(x)\bigr)\exp(-x^2)=0.
Simplificando os coeficientes:
(-2+4x^2 -8x^2 + Q(x))\exp(-x^2)=0 \quad\Rightarrow\quad (-2 -4x^2 + Q(x))\exp(-x^2)=0.
Como \exp(-x^2)\neq 0, segue
Q(x)=2+4x^2.

Passo 6

A solução geral da equação é a combinação linear das duas soluções independentes encontradas. Portanto
y(x)=C_1\,\exp(-x^2) + C_2\,x\,\exp(-x^2).
Podemos factorar \exp(-x^2) se quisermos:
y(x)=(C_1 + C_2 x)\exp(-x^2),
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias reais. Isso é a família completa de soluções da equação dada (para o Q(x) compatível com as hipóteses).

Resposta

(C_1 + C_2 x)\exp(-x^2), com C_1,C_2 constantes reais.

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