Questão 3. (2 pontos) Sabemos que a equação diferencial
possui duas soluções linearmente independentes da forma
e
, onde
. Determine sua solução geral.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem
e afirma que existem duas soluções linearmente independentes da forma
com a condição inicial
. A tarefa é determinar a solução geral da equação (isto é, obter a expressão explícita de todas as soluções, em termos de constantes arbitrárias).
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é homogênea e linear de segunda ordem, com coeficiente de
igual a . - Duas soluções independentes são
e . - Valor em zero:
.
Passo 2
Vamos usar o conceito de Wronskiano e a fórmula de Abel, porque isso nos permite relacionar as duas soluções sem conhecer
inicialmente.
Definição do Wronskiano: para duas funções
soluções, o Wronskiano é
Fórmula de Abel: para a equação
o Wronskiano satisfaz a equação diferencial de primeira ordem
Explicação rápida de porquê: differentiate
, substituir
e simplificar; o termo em
se cancela e sobra
. Isso é uma identidade válida para quaisquer duas soluções da equação linear homogênea.
No nosso caso temos
. Assim pela integração direta obtemos
onde
é uma constante.
Passo 3
Agora calculemos o Wronskiano usando as soluções específicas
e
.
Primeiro calcule
. Então
Portanto, para todas
vale
Passo 4
Comparando com a expressão dada pela fórmula de Abel, temos
Usamos a informação
para determinar
: em
a igualdade dá
, ou seja
. Logo
Para determinar
tomamos a raiz positiva ou negativa. Como
, escolhemos a raiz positiva:
Observação: a escolha do sinal oposto daria uma função com
, em desacordo com a condição dada.
Passo 5
Agora que sabemos
, podemos escrever explicitamente as duas soluções independentes:
Podemos também determinar
(opcional para encontrar a equação completa): calculemos
e
para testar na equação.
Substituindo
na equação
obtemos
Simplificando os coeficientes:
Como
, segue
Passo 6
A solução geral da equação é a combinação linear das duas soluções independentes encontradas. Portanto
Podemos factorar
se quisermos:
onde
são constantes arbitrárias reais. Isso é a família completa de soluções da equação dada (para o
compatível com as hipóteses).