Questão 7. Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função periódica de período T, localmente integrável (i.e., integrável em qualquer intervalo). Mostre que a função
F(x)=\int_{0}^{x} f(t) d té periódica de período T se, e só se, \int_{0}^{T} f(t) d t=0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma equivalência clara:
  • Dada uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} que é periódica de período T. Ou seja, para todo x\in\mathbb{R} vale
f(x+T)=f(x).
  • A função f é localmente integrável, isto é, integrável em qualquer intervalo compacto [a,b].
  • Define-se a função F por
F(x)=\int_{0}^{x} f(t)\,dt,
onde o integral existe para todo x por hipótese de local integrabilidade.
O que devemos provar: mostrar que F é periódica de período T se, e somente se,
\int_{0}^{T} f(t)\,dt = 0.

Passo 2

Comentário e propriedade útil que usarei várias vezes: para uma função f T-periódica e integrável em intervalos compactos, a integral de f em qualquer intervalo de comprimento T não depende do ponto de partida. Em símbolos: para todo a\in\mathbb{R},
\int_{a}^{a+T} f(t)\,dt = \int_{0}^{T} f(t)\,dt.
Prova dessa propriedade (passo a passo simples):
  1. Escreve a integral deslocada como diferença de integrais desde 0:
\int_{a}^{a+T} f(t)\,dt = \int_{0}^{a+T} f(t)\,dt - \int_{0}^{a} f(t)\,dt.
  1. Particiona \int_{0}^{a+T} em \int_{0}^{T} + \int_{T}^{a+T}:
\int_{0}^{a+T} f(t)\,dt = \int_{0}^{T} f(t)\,dt + \int_{T}^{a+T} f(t)\,dt.
  1. Na segunda parcela, faça a mudança de variável u=t-T. Como f é T-periódica, f(t)=f(u+T)=f(u). Os limites t=T a t=a+T viram u=0 a u=a. Logo
\int_{T}^{a+T} f(t)\,dt = \int_{0}^{a} f(u)\,du = \int_{0}^{a} f(t)\,dt.
  1. Substituindo de volta em (1) obtém-se
\int_{a}^{a+T} f(t)\,dt = \biggl(\int_{0}^{T} f(t)\,dt + \int_{0}^{a} f(t)\,dt\biggr) - \int_{0}^{a} f(t)\,dt = \int_{0}^{T} f(t)\,dt.
Assim a propriedade está provada. Observação: tudo é válido porque f é integrável em intervalos compactos.

Passo 3

Direção “se”: suponha que
\int_{0}^{T} f(t)\,dt = 0.
Mostre que F tem período T, isto é, F(x+T)=F(x) para todo x.
Calcule a diferença F(x+T)-F(x):
F(x+T)-F(x) = \int_{0}^{x+T} f(t)\,dt - \int_{0}^{x} f(t)\,dt = \int_{x}^{x+T} f(t)\,dt.
Pelo resultado do Passo 2, \int_{x}^{x+T} f(t)\,dt = \int_{0}^{T} f(t)\,dt. Pela hipótese essa integral vale 0. Logo
F(x+T)-F(x) = 0,
para todo x. Portanto F(x+T)=F(x) para todo x, isto é, F é periódica de período T.
Comentário intuitivo: a integral acumulada ao andar exatamente um período não muda se a integral sobre um período é zero.

Passo 4

Direção “só se”: suponha agora que F é periódica de período T, isto é, F(x+T)=F(x) para todo x. Mostre que então \int_{0}^{T} f(t)\,dt = 0.
Novamente escrevendo a diferença,
0 = F(x+T)-F(x) = \int_{x}^{x+T} f(t)\,dt,
para todo x\in\mathbb{R}. Em particular, tomando x=0 obtemos
0 = \int_{0}^{T} f(t)\,dt.
Portanto a integral sobre um período deve ser zero. Observação: não precisava escolher x=0, qualquer x dá a mesma informação pela propriedade do Passo 2; aqui usamos a periodicidade de F e a definição de F como integral acumulada.

Passo 5

Resumo da lógica: mostrei que se \int_{0}^{T} f=0 então F(x+T)-F(x)=\int_{x}^{x+T} f=\int_{0}^{T} f=0, logo F é T-periódica; e se F é T-periódica então 0=F(0+T)-F(0)=\int_{0}^{T} f, logo a integral sobre um período é zero. Assim as duas afirmações são equivalentes.
Exemplo rápido para fixar a intuição: se f\equiv 1 e T>0, então \int_{0}^{T} f(t)\,dt = T\neq 0 e F(x)=x não é periódica. Se f for uma função cuja média sobre um período é zero (por exemplo f(x)=\sin x com T=2\pi), então F será periódica: para f(x)=\sin x, F(x)=-\cos x + 1 e F(x+2\pi)=F(x).

Resposta

F é periódica de período T se, e somente se, \displaystyle \int_{0}^{T} f(t)\,dt=0.

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