Questão 7. Seja
uma função periódica de período
, localmente integrável (i.e., integrável em qualquer intervalo). Mostre que a função
é periódica de período
se, e só se,
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma equivalência clara:
- Dada uma função
que é periódica de período . Ou seja, para todo vale
- A função
é localmente integrável, isto é, integrável em qualquer intervalo compacto . - Define-se a função
por
onde o integral existe para todo
por hipótese de local integrabilidade.
O que devemos provar: mostrar que
é periódica de período
se, e somente se,
Passo 2
Comentário e propriedade útil que usarei várias vezes: para uma função
-periódica e integrável em intervalos compactos, a integral de
em qualquer intervalo de comprimento
não depende do ponto de partida. Em símbolos: para todo
,
Prova dessa propriedade (passo a passo simples):
- Escreve a integral deslocada como diferença de integrais desde
:
- Particiona
em :
- Na segunda parcela, faça a mudança de variável
. Como é -periódica, . Os limites a viram a . Logo
- Substituindo de volta em (1) obtém-se
Assim a propriedade está provada. Observação: tudo é válido porque
é integrável em intervalos compactos.
Passo 3
Direção “se”: suponha que
Mostre que
tem período
, isto é,
para todo
.
Calcule a diferença
:
Pelo resultado do Passo 2,
. Pela hipótese essa integral vale
. Logo
para todo
. Portanto
para todo
, isto é,
é periódica de período
.
Comentário intuitivo: a integral acumulada ao andar exatamente um período não muda se a integral sobre um período é zero.
Passo 4
Direção “só se”: suponha agora que
é periódica de período
, isto é,
para todo
. Mostre que então
.
Novamente escrevendo a diferença,
para todo
. Em particular, tomando
obtemos
Portanto a integral sobre um período deve ser zero. Observação: não precisava escolher
, qualquer
dá a mesma informação pela propriedade do Passo 2; aqui usamos a periodicidade de
e a definição de
como integral acumulada.
Passo 5
Resumo da lógica: mostrei que se
então
, logo
é
-periódica; e se
é
-periódica então
, logo a integral sobre um período é zero. Assim as duas afirmações são equivalentes.
Exemplo rápido para fixar a intuição: se
e
, então
e
não é periódica. Se
for uma função cuja média sobre um período é zero (por exemplo
com
), então
será periódica: para
,
e
.