3{ }^{\text {a }} Parte - Cálculo sobre Funções Vetoriais e Escalares de Várias Variáveis
Denotemos por d x, d y e d z, os funcionais escalares canônicos definidos como segue: d x: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}, d y: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R} e d z: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}
de modo que para todo \vec{v}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3},
d x(\vec{v})=v_{1}, \quad d y(\vec{v})=v_{2} \quad e \quad d z(\vec{v})=v_{3}
Para cada ponto P=(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}, defina o funcional linear
\phi_{(x, y, z)}: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}
dado por
\phi_{(x, y, z)}=x y d x+x z d y+y z d z
ou seja, \varphi é uma combinação linear da base dual canônica do \left(\mathbb{R}^{3}\right)^{\star} que, por definição,
\phi_{(x, y, z)}(\vec{v})=x y d x(\vec{v})+x z d y(\vec{v})+y z d z(\vec{v})
Para uma curva \alpha:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, define-se
\int_{\alpha} \varphi=\int_{a}^{b} \phi_{\alpha(t)}\left(\alpha^{\prime}(t)\right) d t
Calcular \int_{\alpha} \varphi em cada ítem seguinte:
Dê uma interpretação física para esta modalidade de integral indicando os entes físicos na referida ilustração. \alpha(t)=( cost, sent,t), \quad t \in[0,2 \pi]
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que temos e o que se pede):
Os funcionais escalares canônicos d x,d y,d z em \mathbb{R}^{3} satisfazem, para todo \vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}),
d x(\vec{v})=v_{1},\qquad d y(\vec{v})=v_{2},\qquad d z(\vec{v})=v_{3}.
Para cada ponto P=(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} define-se a 1-forma (funcional linear)
\phi_{(x,y,z)}=x y\,d x + x z\,d y + y z\,d z.
A integral de linha da 1-forma ao longo de uma curva \alpha:[a,b]\to\mathbb{R}^{3} é definida por
Uma 1-forma como \varphi=x y\,d x + x z\,d y + y z\,d z pode ser identificada, via produto interno padrão em \mathbb{R}^{3}, com o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(xy,\\ xz,\\ yz\bigr).
Para uma partícula que se desloca ao longo da trajetória \alpha(t) com velocidade \alpha'(t), o produto escalar \mathbf{F}(\alpha(t))\cdot\alpha'(t) é a potência instantânea (força projetada na direção do deslocamento multiplicada pela velocidade). A integral de linha
é, portanto, o trabalho total realizado pela força \mathbf{F} ao deslocar a partícula ao longo de \alpha.
Conclusão física simples: \varphi representa a mesma informação que o campo de forças \mathbf{F}(x,y,z)=(xy,xz,yz), o integrando \phi_{\alpha(t)}(\alpha'(t)) é a potência instantânea, e \displaystyle\int_{\alpha}\varphi é o trabalho total realizado por \mathbf{F} ao deslocar a partícula ao longo da curva \alpha de t=0 a t=2\pi.