3{ }^{\text {a }} Parte - Cálculo sobre Funções Vetoriais e Escalares de Várias Variáveis
  1. Denotemos por d x, d y e d z, os funcionais escalares canônicos definidos como segue:
    d x: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}, d y: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R} e d z: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}
    de modo que para todo \vec{v}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3},
d x(\vec{v})=v_{1}, \quad d y(\vec{v})=v_{2} \quad e \quad d z(\vec{v})=v_{3}
Para cada ponto P=(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}, defina o funcional linear
\phi_{(x, y, z)}: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}
dado por
\phi_{(x, y, z)}=x y d x+x z d y+y z d z
ou seja, \varphi é uma combinação linear da base dual canônica do \left(\mathbb{R}^{3}\right)^{\star} que, por definição,
\phi_{(x, y, z)}(\vec{v})=x y d x(\vec{v})+x z d y(\vec{v})+y z d z(\vec{v})
Para uma curva \alpha:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, define-se
\int_{\alpha} \varphi=\int_{a}^{b} \phi_{\alpha(t)}\left(\alpha^{\prime}(t)\right) d t
Calcular \int_{\alpha} \varphi em cada ítem seguinte:
Dê uma interpretação física para esta modalidade de integral indicando os entes físicos na referida ilustração.
\alpha(t)=( cost, sent, t), \quad t \in[0,2 \pi]

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que temos e o que se pede):
  • Os funcionais escalares canônicos d x,d y,d z em \mathbb{R}^{3} satisfazem, para todo \vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}),
d x(\vec{v})=v_{1},\qquad d y(\vec{v})=v_{2},\qquad d z(\vec{v})=v_{3}.
  • Para cada ponto P=(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} define-se a 1-forma (funcional linear)
\phi_{(x,y,z)}=x y\,d x + x z\,d y + y z\,d z.
  • A integral de linha da 1-forma ao longo de uma curva \alpha:[a,b]\to\mathbb{R}^{3} é definida por
\int_{\alpha}\varphi=\int_{a}^{b}\phi_{\alpha(t)}\bigl(\alpha'(t)\bigr)\,dt.
  • A curva dada é
\alpha(t)=\bigl(\cos t,\\ \sin t,\\ t\bigr),\qquad t\in[0,2\pi].
O que o exercício pede:
  • Calcular \displaystyle \int_{\alpha}\varphi para a curva \alpha dada.
  • Dar uma interpretação física dessa integral, indicando os entes físicos envolvidos.

Passo 2

Entendendo como avaliar \phi_{\alpha(t)}\bigl(\alpha'(t)\bigr) — uma mini-aula:
  • A 1-forma \varphi em um ponto P=(x,y,z) atua sobre um vetor \vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}) assim:
\phi_{(x,y,z)}(\vec{v})=x y\,d x(\vec{v}) + x z\,d y(\vec{v}) + y z\,d z(\vec{v}).
  • Como d x(\vec{v})=v_{1}, d y(\vec{v})=v_{2}, d z(\vec{v})=v_{3}, segue que
\phi_{(x,y,z)}(\vec{v})=x y\,v_{1} + x z\,v_{2} + y z\,v_{3}.
  • Portanto, para a curva \alpha(t) temos que computar \alpha'(t) e substituir x,y,z pelas coordenadas \alpha(t) e v_{i} pelas componentes de \alpha'(t).

Passo 3

Calcular a derivada da curva e as coordenadas em função de t:
  • As coordenadas são x(t)=\cos t,\; y(t)=\sin t,\; z(t)=t.
  • A velocidade é
\alpha'(t)=\bigl(-\sin t,\\ \cos t,\\\ 1\bigr).
  • Substituindo na fórmula do passo anterior, com x=\cos t,\; y=\sin t,\; z=t e v_{1}=-\sin t,\; v_{2}=\cos t,\; v_{3}=1, obtemos
\phi_{\alpha(t)}\bigl(\alpha'(t)\bigr) = (\cos t)(\sin t)(-\sin t) + (\cos t)(t)(\cos t) + (\sin t)(t)(1).

Passo 4

Simplificar a expressão do integrando:
  • Calcule termo a termo:
    • Primeiro termo: (\cos t)(\sin t)(-\sin t) = -\cos t\,\sin^{2}t.
    • Segundo termo: (\cos t)(t)(\cos t) = t\cos^{2}t.
    • Terceiro termo: (\sin t)(t)(1) = t\sin t.
  • Assim o integrando fica
\phi_{\alpha(t)}\bigl(\alpha'(t)\bigr) = -\cos t\,\sin^{2}t + t\cos^{2}t + t\sin t.
  • Logo a integral procurada é
\int_{\alpha}\varphi=\int_{0}^{2\pi}\Bigl(-\cos t\,\sin^{2}t + t\cos^{2}t + t\sin t\Bigr)\,dt.

Passo 5

Estratégia de integração: separar em três integrais e resolver cada um:
\int_{0}^{2\pi}\Bigl(-\cos t\,\sin^{2}t\Bigr)\,dt +\int_{0}^{2\pi}t\cos^{2}t\,dt +\int_{0}^{2\pi}t\sin t\,dt.
Vou chamar esses termos de I_{1},I_{2},I_{3} respectivamente e calcular um por um.

Passo 6

Calcular I_{1}=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}-\cos t\,\sin^{2}t\,dt:
  • Use a identidade \sin^{2}t=\dfrac{1-\cos 2t}{2}. Então
-\cos t\,\sin^{2}t = -\frac{1}{2}\cos t + \frac{1}{2}\cos t\cos 2t.
  • Usando a fórmula do produto \cos t\cos 2t = \dfrac{1}{2}\bigl(\cos 3t + \cos t\bigr), obtemos
-\cos t\,\sin^{2}t = -\frac{1}{2}\cos t + \frac{1}{4}\cos 3t + \frac{1}{4}\cos t = -\frac{1}{4}\cos t + \frac{1}{4}\cos 3t.
  • Integrando de 0 a 2\pi:
I_{1}=\int_{0}^{2\pi}\Bigl(-\frac{1}{4}\cos t + \frac{1}{4}\cos 3t\Bigr)\,dt = -\frac{1}{4}\bigl[\sin t\bigr]_{0}^{2\pi} + \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}\bigl[\sin 3t\bigr]_{0}^{2\pi}.
  • Como \sin t e \sin 3t valem zero em 0 e 2\pi, resulta
I_{1}=0.

Passo 7

Calcular I_{2}=\displaystyle\int_{0}^{2\pi} t\cos^{2}t\,dt:
  • Use \cos^{2}t=\dfrac{1+\cos 2t}{2}. Então
I_{2}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} t\,dt + \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} t\cos 2t\,dt.
  • O primeiro termo é simples:
\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} t\,dt = \frac{1}{2}\cdot\frac{(2\pi)^{2}}{2} = \frac{1}{4}\cdot 4\pi^{2} = \pi^{2}.
  • O segundo termo requer integração por partes. Faça
    • u=t \Rightarrow du=dt,
    • dv=\cos 2t\,dt \Rightarrow v=\dfrac{1}{2}\sin 2t.
  • Então
\int_{0}^{2\pi} t\cos 2t\,dt = \Bigl.\frac{t}{2}\sin 2t\Bigr|_{0}^{2\pi} - \int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}\sin 2t\,dt.
  • Avaliando: \sin 2t vale zero em t=0,2\pi, e \int_{0}^{2\pi}\sin 2t\,dt=0. Logo o segundo termo é zero.
  • Portanto o segundo termo total vale 0 e
I_{2}=\pi^{2}.

Passo 8

Calcular I_{3}=\displaystyle\int_{0}^{2\pi} t\sin t\,dt por partes:
  • Tome u=t ( du=dt) e dv=\sin t\,dt ( v=-\cos t). Então
\int_{0}^{2\pi} t\sin t\,dt = \Bigl.-t\cos t\Bigr|_{0}^{2\pi} + \int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt.
  • Avaliando: -t\cos t em 2\pi é -2\pi\cdot 1=-2\pi; em 0 é 0. E \int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt=\bigl[\sin t\bigr]_{0}^{2\pi}=0.
  • Logo
I_{3} = -2\pi.

Passo 9

Somar os termos e obter o resultado final:
\int_{\alpha}\varphi = I_{1}+I_{2}+I_{3} = 0 + \pi^{2} + (-2\pi) = \pi^{2}-2\pi.

Passo 10

Interpretação física (didática e direta):
  • Uma 1-forma como \varphi=x y\,d x + x z\,d y + y z\,d z pode ser identificada, via produto interno padrão em \mathbb{R}^{3}, com o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(xy,\\ xz,\\ yz\bigr).
  • Para uma partícula que se desloca ao longo da trajetória \alpha(t) com velocidade \alpha'(t), o produto escalar \mathbf{F}(\alpha(t))\cdot\alpha'(t) é a potência instantânea (força projetada na direção do deslocamento multiplicada pela velocidade). A integral de linha
\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\alpha(t))\cdot\alpha'(t)\,dt
é, portanto, o trabalho total realizado pela força \mathbf{F} ao deslocar a partícula ao longo de \alpha.
  • Conclusão física simples: \varphi representa a mesma informação que o campo de forças \mathbf{F}(x,y,z)=(xy,xz,yz), o integrando \phi_{\alpha(t)}(\alpha'(t)) é a potência instantânea, e \displaystyle\int_{\alpha}\varphi é o trabalho total realizado por \mathbf{F} ao deslocar a partícula ao longo da curva \alpha de t=0 a t=2\pi.

Resposta

\pi^{2}-2\pi

Exercícios relacionados