1.50 Os vetores a e b são perpendiculares entre si e o vetor c é tal que (c, a)=60^circ e (c, b)=60^circ. Sabendo-se que |a|=3,|b|=5 e |c|=8, calcule o produto interno: (3 a-2 b) cdot(b+3 c).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto interno
(3a-2b)cdot(b+3c)
sabendo que aperpb, que os ângulos entre c e cada um de a,b são 60^circ, e que |a|=3, |b|=5, |c|=8.
Vamos usar duas propriedades principais do produto interno:
  1. Bilinearidade: (alphau+betav)cdotw=alpha,ucdotw+beta,vcdotw.
  2. Fórmula geométrica: ucdotv=|u||v|cos(theta), onde theta é o ângulo entre u e v.

Passo 2

Aplicando bilinearidade ao produto
(3a-2b)cdot(b+3c) =3,acdotb +9,acdotc -2,bcdotb -6,bcdotc

Passo 3

Como aperpb, o produto interno acdotb=0. Logo
3,acdotb=0

Passo 4

Para acdotc, usamos
acdotc =|a||c|cos(60^circ) =3cdot8cdottfrac12 =12
Então
9,acdotc =9cdot12 =108

Passo 5

O termo bcdotb é simplesmente |b|^2. Como |b|=5,
bcdotb=25 Longrightarrow -2,bcdotb=-2cdot25=-50

Passo 6

Para bcdotc, de novo a fórmula geométrica:
bcdotc =|b||c|cos(60^circ) =5cdot8cdottfrac12 =20,
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-6,bcdotc =-6cdot20 =-120

Passo 7

Somando todos os termos:
0 + 108 - 50 - 120 = -62

Resposta

-62

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