1.51 Determine a projeção ortogonal do vetor a=2 i-3 j+k sobre o vetor b=-i+2 j+2 k.

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de a=2i-3j+k sobre b=-i+2j+2k. O conteúdo é projeção de vetor em álgebra vetorial, que usa produto escalar e multiplicação de escalar por vetor. A fórmula geral é
projba = acdotbbcdotb;b

Passo 2

Calcular o produto escalar acdotb. Se a=(2,-3,1) e b=(-1,2,2), então
acdotb = 2cdot(-1) + (-3)cdot2 + 1cdot2 = -2 -6 +2 = -6

Passo 3

Calcular bcdotb = |b|^2.
bcdotb = (-1)^2 + 2^2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9

Passo 4

Obter o coeficiente escalar da projeção:
acdotbbcdotb = -69 = -tfrac23

Passo 5

Multiplicar esse escalar por b:
projba = -tfrac23,(-i+2j+2k) = tfrac23,i - tfrac43,j - tfrac43,k

Resposta

A projeção ortogonal de a sobre b é
projba = tfrac23,i ;-; tfrac43,j ;-; tfrac43,k

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