Demonstre as seguintes propriedades da norma.
|x a| = |x||a|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a propriedade de homogeneidade da norma, ou seja, que ao multiplicar um vetor a por um escalar x o tamanho resultante satisfaz
|xa| = |x|,|a|
Para isso vamos usar a definição de norma em um espaço com produto interno:
|v| = raizlang<= v,vrang<=,
e as propriedades de bilinearidade e simetria do produto interno.

Passo 2

Aplicando a definição de norma ao vetor xa temos
|xa| = raizllang<= xa,,xarrang<=
Pela bilinearidade do produto interno em cada argumento, podemos tirar o escalar x de cada parte:
llang<= xa,,xarrang<= = x,x,llang<= a,arrang<= = x^2,lang<= a,arang<=

Passo 3

Substituindo de volta na raiz, obtemos
|xa| = raizx^2,lang<= a,arang<= = raizx^2;raizlang<= a,arang<=

Passo 4

Como raizx^2=|x| e raizlang<= a,arang<==|a|, concluímos
|xa| = |x|,|a|

Resposta

|xa| = |x|,|a|

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