1.46 Descreva a construção de uma base ortonormal positiva
, a partir de um vetor não nulo
.
Passo 1
O enunciado pede para, a partir de um vetor não nulo
em
, construir uma base ortonormal
com orientação positiva (isto é, um sistema de eixos direitista). Vamos usar dois ingredientes principais: o processo de Gram–Schmidt para obter vetores mutuamente ortogonais e a normalização, e o produto vetorial para garantir a orientação positiva.
Passo 2
Primeiro, normalizamos
para obter o vetor de unidade na direção de
. Chamamos esse vetor de
Aqui
é a norma euclidiana de
. Agora
tem comprimento 1.
Passo 3
Em seguida, escolhemos um vetor
que não seja paralelo a
. Por exemplo, podemos tomar
se
não for colinear a esse; caso contrário, usamos
. Para remover de
qualquer componente na direção de
, projetamos e subtraímos:
Esse
é ortogonal a
. Finalmente, normalizamos
para obter
Agora
tem comprimento 1 e satisfaz
.
Passo 4
Para fechar a base com orientação positiva, usamos o produto vetorial entre
e
. Definimos
Como
e
são unitários e ortogonais,
também é unitário e ortogonal a ambos. Além disso,
satisfaz
, garantindo a orientação positiva.
Resposta
A base ortonormal positiva construída é
com