1.46 Descreva a construção de uma base ortonormal positiva a, b, c, a partir de um vetor não nulo a.

Passo 1

O enunciado pede para, a partir de um vetor não nulo a em R^3, construir uma base ortonormal a,b,c com orientação positiva (isto é, um sistema de eixos direitista). Vamos usar dois ingredientes principais: o processo de Gram–Schmidt para obter vetores mutuamente ortogonais e a normalização, e o produto vetorial para garantir a orientação positiva.

Passo 2

Primeiro, normalizamos a para obter o vetor de unidade na direção de a. Chamamos esse vetor de
a ;=;a|a|
Aqui |a| é a norma euclidiana de a. Agora a tem comprimento 1.

Passo 3

Em seguida, escolhemos um vetor v que não seja paralelo a a. Por exemplo, podemos tomar v=(1,0,0) se a não for colinear a esse; caso contrário, usamos (0,1,0). Para remover de v qualquer componente na direção de a, projetamos e subtraímos:
w ;=;v;-;(vcdota),a
Esse w é ortogonal a a. Finalmente, normalizamos w para obter
b ;=;w|w|
Agora b tem comprimento 1 e satisfaz bcdota=0.

Passo 4

Para fechar a base com orientação positiva, usamos o produto vetorial entre a e b. Definimos
c ;=;atimesb
Como a e b são unitários e ortogonais, c também é unitário e ortogonal a ambos. Além disso, a,b,c satisfaz atimesb=c, garantindo a orientação positiva.

Resposta

A base ortonormal positiva construída é
a,,b,,c
com
a=a|a|, b=v-(vcdota),a|v-(vcdota),a|, c=atimesb

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