(0.50p) Dada a sequência
an=(-1)^n+1raizn+2
(a) Liste os primeiros cinco termos
(b) Estude a convergência ou divergência da série sumn=0^infty an.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência definida por $ a_{n} = \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n+2}} $. O que precisamos fazer é:
(a) Listar os primeiros cinco termos dessa sequência.
(b) Verificar se a série $ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} $ converge ou diverge.
Vamos precisar entender como calcular os termos da sequência e também conhecer alguns testes de convergência de séries.

Passo 2

Vamos começar listando os primeiros cinco termos da sequência. Para isso, substituímos $ n $ por 0, 1, 2, 3 e 4 na expressão da sequência.
A fórmula é:
n
Vamos calcular cada termo:
  1. Para $ n = 0 $:
an = (-1)^n+1raizn+2
  1. Para $ n = 1 $:
n = 0
  1. Para $ n = 2 $:
a0 = (-1)^0+1raiz0+2 = (-1)^1raiz2 = -1raiz2
  1. Para $ n = 3 $:
n = 1
  1. Para $ n = 4 $:
a1 = (-1)^1+1raiz1+2 = (-1)^2raiz3 = 1raiz3

Passo 3

Agora, vamos analisar se a série $ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} $ converge ou diverge. Essa é uma série alternada porque os termos alternam sinais devido ao fator $ (-1)^{n+1} $.
Para testar a convergência de séries alternadas, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se:
  1. Os termos $ b_{n} = \frac{1}{\sqrt{n+2}} $ são positivos.
  2. A sequência $ b_{n} $ é decrescente.
  3. O limite de $ b_{n} $ quando $ n $ tende ao infinito é zero.
Então, a série $ \sum (-1)^{n+1} b_{n} $ converge.
Vamos verificar cada condição:
  1. Positividade: $ b_{n} = \frac{1}{\sqrt{n+2}} $ é sempre positivo para $ n \geq 0 $.
  2. Decrescente: À medida que $ n $ aumenta, $ n+2 $ aumenta, então $ \sqrt{n+2} $ aumenta e $ \frac{1}{\sqrt{n+2}} $ diminui. Portanto, $ b_{n} $ é decrescente.
  3. Limite:
sumn=0^infty an
Como todas as condições são satisfeitas, a série $ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} $ converge pelo Teste da Série Alternada.

Resposta

(a) Os primeiros cinco termos da sequência são:
a0 = -1raiz2, a1 = 1raiz3, a2 = -12, a3 = 1raiz5, a4 = -1raiz6
(b) A série $ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} $ converge.

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