(0.50p) Dada a sequência
(a) Liste os primeiros cinco termos
(b) Estude a convergência ou divergência da série
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(b) Estude a convergência ou divergência da série
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência definida por $ a_{n} = \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n+2}} $. O que precisamos fazer é:
(a) Listar os primeiros cinco termos dessa sequência.
(b) Verificar se a série $ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} $ converge ou diverge.
Vamos precisar entender como calcular os termos da sequência e também conhecer alguns testes de convergência de séries.
Passo 2
Vamos começar listando os primeiros cinco termos da sequência. Para isso, substituímos $ n $ por 0, 1, 2, 3 e 4 na expressão da sequência.
A fórmula é:
Vamos calcular cada termo:
- Para $ n = 0 $:
- Para $ n = 1 $:
- Para $ n = 2 $:
- Para $ n = 3 $:
- Para $ n = 4 $:
Passo 3
Agora, vamos analisar se a série $ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} $ converge ou diverge. Essa é uma série alternada porque os termos alternam sinais devido ao fator $ (-1)^{n+1} $.
Para testar a convergência de séries alternadas, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se:
- Os termos $ b_{n} = \frac{1}{\sqrt{n+2}} $ são positivos.
- A sequência $ b_{n} $ é decrescente.
- O limite de $ b_{n} $ quando $ n $ tende ao infinito é zero.
Então, a série $ \sum (-1)^{n+1} b_{n} $ converge.
Vamos verificar cada condição:
-
Positividade: $ b_{n} = \frac{1}{\sqrt{n+2}} $ é sempre positivo para $ n \geq 0 $.
-
Decrescente: À medida que $ n $ aumenta, $ n+2 $ aumenta, então $ \sqrt{n+2} $ aumenta e $ \frac{1}{\sqrt{n+2}} $ diminui. Portanto, $ b_{n} $ é decrescente.
-
Limite:
Como todas as condições são satisfeitas, a série $ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} $ converge pelo Teste da Série Alternada.
Resposta
(a) Os primeiros cinco termos da sequência são:
(b) A série $ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} $ converge.