Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das funções dadas.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função $ f(x, y) = x y e{-x{2} - y^{2}} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Isso é feito calculando as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ e igualando-as a zero.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
Igualando a zero:
Como $ e{-x{2} - y^{2}} $ nunca é zero, temos:
Então, ou $ y = 0 $ ou $ 1 - 2x^{2} = 0 $.
Passo 4
Calculando a derivada parcial em relação a $ y $:
Igualando a zero:
Novamente, $ e{-x{2} - y^{2}} $ nunca é zero, então:
Ou $ x = 0 $ ou $ 1 - 2y^{2} = 0 $.
Passo 5
Vamos analisar as possibilidades:
-
Caso $ y = 0 $:
- Da equação $ x (1 - 2y^{2}) = 0 $, temos $ x = 0 $.
- Então, o ponto crítico é $ (0, 0) $.
-
Caso $ 1 - 2x^{2} = 0 $:
- $ 2x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} $.
- Substituindo na equação $ x (1 - 2y^{2}) = 0 $, como $ x \neq 0 $, temos $ 1 - 2y^{2} = 0 \Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} $.
- Assim, temos os pontos críticos $ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) $, $ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $, $ \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) $, e $ \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $.
Passo 6
Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
No entanto, para simplificar, podemos calcular o discriminante $ D $:
Mas, de forma mais prática, para cada ponto crítico, substituímos na matriz Hessiana simplificada.
Passo 7
Analisando o ponto $ (0, 0) $:
Então, $ D = (0)(0) - (1)^2 = -1 < 0 $. Isso indica que $ (0, 0) $ é um ponto de sela.
Passo 8
Agora, analisamos os pontos $ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) $, $ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $, $ \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) $, e $ \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $:
Para qualquer um desses pontos, devido à simetria da função, teremos:
Então, $ D = (0)(0) - (-e{-1})2 = -e^{-2} < 0 $, indicando que todos esses pontos também são pontos de sela.
Resposta
A função $ f(x, y) = x y e{-x{2} - y^{2}} $ possui um ponto de sela em $ (0, 0) $ e outros quatro pontos de sela em $ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) $, $ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $, $ \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) $ e $ \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $. Não existem valores máximos ou mínimos locais nessa função.