Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das funções dadas.
f(x, y)=x y e^-x^2-y^2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função $ f(x, y) = x y e{-x{2} - y^{2}} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Isso é feito calculando as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ e igualando-as a zero.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
x
Igualando a zero:
fx = partial fpartial x = y e^-x^2 - y^2 + x y (-2x) e^-x^2 - y^2 = y e^-x^2 - y^2 (1 - 2x^2)
Como $ e{-x{2} - y^{2}} $ nunca é zero, temos:
y e^-x^2 - y^2 (1 - 2x^2) = 0
Então, ou $ y = 0 $ ou $ 1 - 2x^{2} = 0 $.

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a $ y $:
y
Igualando a zero:
fy = partial fpartial y = x e^-x^2 - y^2 + x y (-2y) e^-x^2 - y^2 = x e^-x^2 - y^2 (1 - 2y^2)
Novamente, $ e{-x{2} - y^{2}} $ nunca é zero, então:
x e^-x^2 - y^2 (1 - 2y^2) = 0
Ou $ x = 0 $ ou $ 1 - 2y^{2} = 0 $.

Passo 5

Vamos analisar as possibilidades:
  1. Caso $ y = 0 $:
    • Da equação $ x (1 - 2y^{2}) = 0 $, temos $ x = 0 $.
    • Então, o ponto crítico é $ (0, 0) $.
  2. Caso $ 1 - 2x^{2} = 0 $:
    • $ 2x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} $.
    • Substituindo na equação $ x (1 - 2y^{2}) = 0 $, como $ x \neq 0 $, temos $ 1 - 2y^{2} = 0 \Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} $.
    • Assim, temos os pontos críticos $ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) $, $ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $, $ \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) $, e $ \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $.

Passo 6

Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = e^-x^2 - y^2 ( -2y (1 - 2x^2) ) + y e^-x^2 - y^2 (-4x) = y e^-x^2 - y^2 (-2 + 4x^2)
fyy = partial^2 fpartial y^2 = e^-x^2 - y^2 ( -2x (1 - 2y^2) ) + x e^-x^2 - y^2 (-4y) = x e^-x^2 - y^2 (-2 + 4y^2)
fxy = fyx = partial^2 fpartial x partial y = e^-x^2 - y^2 (1 - 2x^2 - 2y^2) + x y e^-x^2 - y^2 (-2x - 2y)
No entanto, para simplificar, podemos calcular o discriminante $ D $:
D
Mas, de forma mais prática, para cada ponto crítico, substituímos na matriz Hessiana simplificada.

Passo 7

Analisando o ponto $ (0, 0) $:
(0, 0)
Então, $ D = (0)(0) - (1)^2 = -1 < 0 $. Isso indica que $ (0, 0) $ é um ponto de sela.

Passo 8

Agora, analisamos os pontos $ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) $, $ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $, $ \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) $, e $ \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $:
Para qualquer um desses pontos, devido à simetria da função, teremos:
(1raiz2, 1raiz2)
Então, $ D = (0)(0) - (-e{-1})2 = -e^{-2} < 0 $, indicando que todos esses pontos também são pontos de sela.

Resposta

A função $ f(x, y) = x y e{-x{2} - y^{2}} $ possui um ponto de sela em $ (0, 0) $ e outros quatro pontos de sela em $ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) $, $ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $, $ \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) $ e $ \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $. Não existem valores máximos ou mínimos locais nessa função.

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