Fazendo usufruto do mínimo múltiplo comum, simplifique as expressões a seguir.
y+z(x-y)(x-z)+x+z(y-x)(y-z)+x+y(z-x)(z-y)
Dica: Para a última alternativa, note que (y-x)=-(x-y). Fazendo este processo para os outros termos, é possível notar que só há três fatores distintos, e não seis!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma expressão com frações e a missão é simplificar ela usando o mínimo múltiplo comum (MMC). O que isso significa? Basicamente, a gente vai encontrar um denominador que todo mundo pode usar pra juntar essas frações de forma mais simples. Então, vamos precisar mexer com frações e entender um pouquinho sobre MMC.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nos denominadores das frações:
(x - y)(x - z), (y - x)(y - z), (z - x)(z - y)
A dica diz que podemos simplificar mudando os sinais. Por exemplo, $ (y - x) = - (x - y) $. Vamos aplicar isso nos denominadores:
(y - x) = - (x - y)
Então, substituindo na expressão original:
(y - x) = - (x - y) (z - x) = - (x - z) (z - y) = - (y - z)

Passo 3

Agora, vamos simplificar os sinais. Observe que cada fração que tinha um denominador com um sinal negativo agora ganha um fator -1 lá na frente:
y + z(x - y)(x - z) - x + z(x - y)(y - z) - x + y(x - z)(y - z)

Passo 4

Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum. O MMC dos denominadores (x - y)(x - z), (x - y)(y - z) e (x - z)(y - z) é (x - y)(x - z)(y - z). Vamos reescrever cada fração com esse denominador:
(y + z)(y - z)(x - y)(x - z)(y - z) - (x + z)(x - z)(x - y)(x - z)(y - z) - (x + y)(x - y)(x - y)(x - z)(y - z)

Passo 5

Agora que temos todas as frações com o mesmo denominador, podemos somar os numeradores:
(y + z)(y - z) - (x + z)(x - z) - (x + y)(x - y)(x - y)(x - z)(y - z)
Vamos expandir os numeradores usando a propriedade distributiva:
(y + z)(y - z) = y^2 - z^2 (x + z)(x - z) = x^2 - z^2 (x + y)(x - y) = x^2 - y^2
Substituindo de volta:
y^2 - z^2 - (x^2 - z^2) - (x^2 - y^2)(x - y)(x - z)(y - z)

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
y^2 - z^2 - x^2 + z^2 - x^2 + y^2 = 2y^2 - 2x^2
Fatorando:
2(y^2 - x^2) = 2(y - x)(y + x)
Então, a expressão fica:
2(y - x)(y + x)(x - y)(x - z)(y - z)
Perceba que $ y - x = - (x - y) $, então podemos simplificar:
y - x = - (x - y)

Resposta

A expressão simplificada é:
-2(x + y)(x - z)(y - z)

Exercícios relacionados