amostra 1: 12,2 12,4 12,1 12,0 12,7 12,4
amostra 2: 14,0 13,7 13,9 14,1 13,9
Estabeleça um intervalo de 95% de confiança para o desvio-padrão com que a máquina opera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de estatística onde precisamos estabelecer um intervalo de confiança de 95% para o desvio-padrão com que uma máquina opera. Isso significa que queremos ter 95% de certeza de que o verdadeiro desvio-padrão da máquina está dentro desse intervalo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de intervalo de confiança e distribuição qui-quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos. Temos duas amostras de medições da máquina:
  • Amostra 1: 12,2; 12,4; 12,1; 12,0; 12,7; 12,4
  • Amostra 2: 14,0; 13,7; 13,9; 14,1; 13,9
Vamos unificar essas amostras para facilitar os cálculos. Assim, temos um total de 11 medições.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a média e a variância dessas medições, porque essas são informações essenciais para determinar o intervalo de confiança do desvio-padrão.
Primeiro, calculamos a média ( barx = sum xin = 12,2 + 12,4 + 12,1 + 12,0 + 12,7 + 12,4 + 14,0 + 13,7 + 13,9 + 14,1 + 13,911 ):
sum xi = 12,2 + 12,4 + 12,1 + 12,0 + 12,7 + 12,4 + 14,0 + 13,7 + 13,9 + 14,1 + 13,9 = 140,7
Vamos somar os valores:
barx = 140,711 approx 12,79
Então,

Passo 4

Agora, calculamos a variância ( s^2 = sum (xi - barx)^2n - 1 ). A fórmula é:
(12,2 - 12,79)^2 &approx ( -0,59 )^2 approx 0,3481 (12,4 - 12,79)^2 &approx ( -0,39 )^2 approx 0,1521 (12,1 - 12,79)^2 &approx ( -0,69 )^2 approx 0,4761 (12,0 - 12,79)^2 &approx ( -0,79 )^2 approx 0,6241 (12,7 - 12,79)^2 &approx ( -0,09 )^2 approx 0,0081 (12,4 - 12,79)^2 &approx ( -0,39 )^2 approx 0,1521 (14,0 - 12,79)^2 &approx ( 1,21 )^2 approx 1,4641 (13,7 - 12,79)^2 &approx ( 0,91 )^2 approx 0,8281 (13,9 - 12,79)^2 &approx ( 1,11 )^2 approx 1,2321 (14,1 - 12,79)^2 &approx ( 1,31 )^2 approx 1,7161 (13,9 - 12,79)^2 &approx ( 1,11 )^2 approx 1,2321
Vamos calcular cada termo sum (xi - barx)^2 approx 0,3481 + 0,1521 + 0,4761 + 0,6241 + 0,0081 + 0,1521 + 1,4641 + 0,8281 + 1,2321 + 1,7161 + 1,2321 approx 7,2849 :
s^2 = 7,284911 - 1 = 7,284910 approx 0,7285
Somando todos esses valores:
Então,

Passo 5

Agora que temos a variância ( s = raizs^2 = raiz0,7285 approx 0,853 ), podemos calcular o desvio-padrão ( ):

Passo 6

Para estabelecer o intervalo de confiança de 95% para o desvio-padrão, usamos a distribuição qui-quadrado ( ( (n - 1)s^2chi^2alpha/2, (n - 1)s^2chi^21 - alpha/2 ) ). A fórmula para o intervalo de confiança da variância é:
chi^20,025 approx 3,247 e chi^20,975 approx 20,483
Onde:
  • é o tamanho da amostra (11)
  • é a variância
  • e são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para 95% de confiança
Para 95% de confiança e graus de liberdade, os valores críticos são aproximadamente:

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula:
( 10 times 0,728520,483, 10 times 0,72853,247 ) approx ( 7,28520,483, 7,2853,247 ) approx (0,355, 2,242)
Esse é o intervalo de confiança para a variância. Para obter o intervalo para o desvio-padrão, tiramos a raiz quadrada dos limites:
( raiz0,355, raiz2,242 ) approx (0,596, 1,497)

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para o desvio-padrão com que a máquina opera está entre aproximadamente 0,596 e 1,497.

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