1. f(x)= \begin{cases}1+x^{2} & \text { se } x \leqslant 0 \\\\ 2-x & \text { se } 0<x \leqslant 2 \\\ (x-2)^{2} & \text { se } x>2\end{cases}

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes
f(x)= \begin{cases} 1+x^{2}, & \text{se } x\le 0,\\[4pt] 2-x, & \text{se } 0<x\le 2,\\[4pt] (x-2)^{2}, & \text{se } x>2. \end{cases}
As perguntas que vou responder (que normalmente se pedem para esse tipo de função) são:
  • Determinar onde f é contínua e onde há descontinuidade.
  • Determinar onde f é diferenciável e onde não é, e fornecer a expressão de f'(x) nos intervalos onde existe.
Pontos de atenção: as junções entre as peças ocorrem em x=0 e x=2. Vou verificar limites laterais, valores em cada ponto e as derivadas laterais nesses pontos.]

Passo 2

Conceito de continuidade (rápido e prático):
Uma função f é contínua em um ponto a se e somente se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Para pontos em que a definição é por partes, isso exige que as duas limites laterais existam e sejam iguais entre si e iguais ao valor f(a). Vou aplicar isso primeiro em x=0.
Cálculo das limitações em x=0:
  • Limite pela esquerda ( x\to0^-): usa-se a peça 1+x^{2}. Logo
\lim_{x\to0^-} f(x)=\lim_{x\to0^-} (1+x^{2})=1+0=1.
  • Limite pela direita ( x\to0^+): usa-se a peça 2-x. Logo
\lim_{x\to0^+} f(x)=\lim_{x\to0^+} (2-x)=2-0=2.
  • Valor no ponto 0: a definição diz que para x\le0 a função vale 1+x^{2}, então
f(0)=1+0=1.
Comparando: \lim_{x\to0^-}f(x)=1, \lim_{x\to0^+}f(x)=2 e f(0)=1. Como as duas laterais não coincidem, a condição de continuidade falha. Conclusão: há uma descontinuidade em x=0 (é uma descontinuidade do tipo salto).

Passo 3

Verificação de continuidade em x=2:
  • Limite pela esquerda ( x\to2^-): usa-se a peça 2-x. Então
\lim_{x\to2^-} f(x)=\lim_{x\to2^-} (2-x)=2-2=0.
  • Limite pela direita ( x\to2^+): usa-se a peça (x-2)^{2}. Então
\lim_{x\to2^+} f(x)=\lim_{x\to2^+} (x-2)^{2}=0^{2}=0.
  • Valor no ponto 2: a definição indica que para 0<x\le2 vale 2-x, então
f(2)=2-2=0.
Como \lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^+}f(x)=f(2)=0, a função é contínua em x=2.
Observação adicional: em qualquer ponto estritamente interior às peças (ou seja, em x<0, em 0<x<2 e em x>2) a função é polinomial (ou linear) e portanto é contínua nesses intervalos. Assim, a única descontinuidade é em x=0.

Passo 4

Conceito de derivada e abordagem prática:
A derivada de f num ponto a (se existir) é
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},
isto é, o limite do quociente de diferença. Para funções definidas por partes, frequentemente verificamos:
  • as derivadas internas de cada peça (usando regras usuais) para pontos que não sejam junção;
  • as derivadas laterais em pontos de junção e verificamos se coincidem.
Vou primeiro obter f'(x) para pontos internos a cada peça.

Passo 5

Derivadas nas regiões interiores:
  • Para x<0, f(x)=1+x^{2}. Aplicando a regra da derivada do polinômio:
f'(x)=2x \quad\text{para } x<0.
Explicação curta: a derivada de x^{2} é 2x e a constante some.
  • Para 0<x<2, f(x)=2-x. Derivada da função linear:
f'(x)=-1 \quad\text{para } 0<x<2.
Porque a derivada de -x é -1 e a constante 2 some.
  • Para x>2, f(x)=(x-2)^{2}. Usando regra da cadeia (ou expandindo) a derivada é
f'(x)=2(x-2)\quad\text{para } x>2.
Essas são as expressões de f'(x) nos intervalos onde a função é dada por uma única fórmula.

Passo 6

Verificação de diferenciabilidade em x=0 usando derivadas laterais:
Precisamos calcular
f'_-(0)=\lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0},\qquad f'_+(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}.
Já sabemos f(0)=1.
Cálculo da derivada pela esquerda:
Para x<0 vale f(x)=1+x^{2}, então
\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{1+x^{2}-1}{x}=\frac{x^{2}}{x}=x.
Fazendo x\to0^{-}, obtemos
f'_-(0)=\lim_{x\to0^-} x = 0.
(Isto coincide com a expressão 2x avaliada em x=0, que dá 0.)
Cálculo da derivada pela direita:
Para x>0 vale f(x)=2-x, então
\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{2-x-1}{x}=\frac{1-x}{x}= \frac{1}{x}-1.
Ao fazer x\to0^{+} o termo \dfrac{1}{x} diverge para +\infty, então
f'_+(0)=\lim_{x\to0^+}\Big(\frac{1}{x}-1\Big)=+\infty,
ou seja, o limite não existe como número finito. Portanto as derivadas laterais não coincidem (nem mesmo ambas existem finitas). Conclusão: f não é diferenciável em x=0. (Isso também era previsível porque há salto na função em 0.)

Passo 7

Verificação de diferenciabilidade em x=2 usando derivadas laterais:
Aqui f(2)=0. Calculamos as derivadas laterais usando as peças apropriadas.
Derivada pela esquerda ( x\to2^-), usando f(x)=2-x:
\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{2-x-0}{x-2}=\frac{2-x}{x-2}=-1,
para x\neq2. Portanto
f'_-(2)=\lim_{x\to2^-} -1 = -1.
Derivada pela direita ( x\to2^+), usando f(x)=(x-2)^{2}:
\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{(x-2)^{2}-0}{x-2}=x-2.
Fazendo x\to2^{+},
f'_+(2)=\lim_{x\to2^+} (x-2)=0.
Como f'_-(2)=-1 e f'_+(2)=0 são diferentes, a derivada não existe em x=2. Portanto f não é diferenciável em x=2. Observação: a função é contínua em 2 mas apresenta uma “quebra” na inclinação (canto), por isso não é diferenciável ali.

Passo 8

Síntese final (onde a função é contínua e diferenciável):
  • Continuidade: f é contínua em todo \mathbb{R} exceto em x=0. Há um salto em x=0; em x=2 é contínua.
  • Diferenciabilidade: f é diferenciável em todos os pontos que não são junção, isto é, em
(-\infty,0),\quad(0,2),\quad(2,\infty).
Nos pontos de junção x=0 e x=2 a derivada não existe (em 0 porque a função tem salto e a derivada à direita diverge; em 2 porque as derivadas laterais são -1 e 0, diferentes).
As fórmulas da derivada onde existe são:
f'(x)= \begin{cases} 2x, & x<0,\\[4pt] -1, & 0<x<2,\\[4pt] 2(x-2), & x>2. \end{cases}]

Resposta

A função é descontínua em x=0 e contínua em todos os outros pontos.
f é diferenciável em (-\infty,0), em (0,2) e em (2,\infty), e não é diferenciável em x=0 nem em x=2.
As derivadas (onde existem) são:
f'(x)= \begin{cases} 2x, & x<0,\\[4pt] -1, & 0<x<2,\\[4pt] 2(x-2), & x>2. \end{cases}]

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