*2.51 A aceleração de uma motocicleta é dada por ax(t)=A t- B r^2 onde A=1,5 m / s^3 e B=0,120 m / s^4. A motocicleta está em repouso na origem no instante t=0. a) Calcule sua velocidade e posição em função do tempo. b) Calcule a velocidade máxima que ela pode atingir.

Passo 1

Vamos lá! Temos uma questão sobre movimento com aceleração variável. A equação da aceleração da motocicleta é dada por ax(t) = A t - B t^2 , onde A = 1,5 , m/s^3 e B = 0,120 , m/s^4 . A motocicleta parte do repouso na origem quando t = 0 . Para resolver essa questão, precisamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para encontrar as funções de velocidade e posição em função do tempo. Depois, vamos determinar a velocidade máxima que a motocicleta pode alcançar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade v(t) em função do tempo. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dvdt = A t - B t^2
Para encontrar v(t) , precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo:
v(t) = integral a(t) , dt = integral (A t - B t^2) , dt
Integrando termo a termo:
v(t) = A2 t^2 - B3 t^3 + C
Como a motocicleta parte do repouso, temos que v(0) = 0 . Substituindo t = 0 na equação:
0 = A2 cdot 0^2 - B3 cdot 0^3 + C Rightarrow C = 0
Então, a função da velocidade é:
v(t) = A2 t^2 - B3 t^3

Passo 3

Agora, vamos encontrar a posição x(t) em função do tempo. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição:
v(t) = dxdt = A2 t^2 - B3 t^3
Para encontrar x(t) , vamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
x(t) = integral v(t) , dt = integral ( A2 t^2 - B3 t^3 ) dt
Integrando termo a termo:
x(t) = A6 t^3 - B12 t^4 + D
Como a motocicleta parte da origem, temos que x(0) = 0 . Substituindo t = 0 :
0 = A6 cdot 0^3 - B12 cdot 0^4 + D Rightarrow D = 0
Portanto, a função da posição é:
x(t) = A6 t^3 - B12 t^4

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade máxima que a motocicleta pode atingir. Para isso, precisamos encontrar o ponto onde a velocidade deixa de aumentar, ou seja, onde a aceleração se torna zero:
a(t) = A t - B t^2 = 0
Resolvendo para t :
A t - B t^2 = 0 Rightarrow t (A - B t) = 0
As soluções são t = 0 e t = AB . Ignorando t = 0 (já que é o início do movimento), temos:
tmáx = AB á
Substituindo os valores de A e B :
tmáx = 1,50,120 = 12,5 , segundos á

Passo 5

Agora, vamos substituir tmáx á na função da velocidade para encontrar a velocidade máxima:
vmáx = A2 tmáx^2 - B3 tmáx^3 ááá
Substituindo tmáx = 12,5 á:
vmáx = 1,52 (12,5)^2 - 0,1203 (12,5)^3 á
Calculando passo a passo:
1,52 = 0,75
(12,5)^2 = 156,25
0,75 times 156,25 = 117,1875 , m/s
(12,5)^3 = 1953,125
0,1203 = 0,04
0,04 times 1953,125 = 78,125 , m/s
Então:
vmáx = 117,1875 - 78,125 = 39,0625 , m/s á

Resposta

A velocidade máxima que a motocicleta pode atingir é aproximadamente 39,06 , m/s .

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