*2.51 A aceleração de uma motocicleta é dada por
onde
. A motocicleta está em repouso na origem no instante
. a) Calcule sua velocidade e posição em função do tempo. b) Calcule a velocidade máxima que ela pode atingir.
Passo 1
Vamos lá! Temos uma questão sobre movimento com aceleração variável. A equação da aceleração da motocicleta é dada por
, onde
e
. A motocicleta parte do repouso na origem quando
. Para resolver essa questão, precisamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para encontrar as funções de velocidade e posição em função do tempo. Depois, vamos determinar a velocidade máxima que a motocicleta pode alcançar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade
em função do tempo. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Para encontrar
, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo:
Integrando termo a termo:
Como a motocicleta parte do repouso, temos que
. Substituindo
na equação:
Então, a função da velocidade é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a posição
em função do tempo. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição:
Para encontrar
, vamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
Integrando termo a termo:
Como a motocicleta parte da origem, temos que
. Substituindo
:
Portanto, a função da posição é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a velocidade máxima que a motocicleta pode atingir. Para isso, precisamos encontrar o ponto onde a velocidade deixa de aumentar, ou seja, onde a aceleração se torna zero:
Resolvendo para
:
As soluções são
e
. Ignorando
(já que é o início do movimento), temos:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 5
Agora, vamos substituir
na função da velocidade para encontrar a velocidade máxima:
Substituindo
:
Calculando passo a passo:
Então:
Resposta
A velocidade máxima que a motocicleta pode atingir é aproximadamente
.