Uma carga positiva está distribuída uniformemente ao longo de uma barra fina de densidade de carga igual lambda, condutora, de comprimento infinito. Calcule o campo elétrico a uma distância r dessa barra.

Passo 1

O enunciado: temos uma barra condutora infinita com densidade linear de carga lambda e queremos o campo elétrico a uma distância radial r. O conteúdo principal é aplicar a Lei de Coulomb em forma de densidade de carga e usar simetria cilíndrica para simplificar a superposição.

Passo 2

Por simetria cilíndrica, o campo elétrico no ponto de interesse só tem componente radial Er; as componentes ao longo do eixo da barra se cancelam. Vamos posicionar a barra ao longo do eixo x e o ponto P a uma distância r do eixo.

Passo 3

Escolhemos um elemento infinitesimal de carga dq = lambda,dx localizado em x. A distância desse elemento até P é s = raizr^2 + x^2. Pela Lei de Coulomb, o módulo do campo é
dE = 14pivarepsilon0dqs^2 = 14pivarepsilon0lambda,dxl(r^2 + x^2r)

Passo 4

Para ficar só a componente radial, projetamos dE sobre hat r. O ângulo entre dE e o eixo radial satisfaz costheta = r/s, então
dEr = dEcostheta = 14pivarepsilon0lambda,dxr^2 + x^2cdotrraizr^2 + x^2 = lambda4pivarepsilon0r,dxl(r^2 + x^2r)^3/2

Passo 5

Integrando de -infty a +infty ao longo do eixo,
Er = integral-infty^inftydEr = lambda r4pivarepsilon0integral-infty^inftydxl(r^2 + x^2r)^3/2

Passo 6

Sabemos que integral-infty^inftydx(r^2 + x^2)^3/2 = 2r^2. Substituindo,
Er = lambda r4pivarepsilon0cdot2r^2 = lambda2pivarepsilon0,r

Passo 7

O campo resultante é radialmente para fora da barra, pois a carga é positiva.

Resposta

E = lambda2pivarepsilon0,r,r

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