51^{\circ} Lasers têm sido usados para suspender grânulos esféricos de vidro no campo gravitacional da Terra. (a) Se um grânulo tem massa m e densidade \rho, determine a intensidade de radiação necessária para sustentar o grânulo. (b) Se o feixe tem raio r, qual é a potência requerida por esse laser?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar a intensidade de radiação necessária para sustentar um grânulo esférico de vidro de massa m e densidade \rho.
  • (b) Se o feixe do laser tem raio r, determinar a potência requerida pelo laser.
Informações relevantes dadas (explicitamente ou implícitas):
  • Massa do grânulo: m.
  • Densidade do material do grânulo: \rho.
  • A forma do grânulo é esférica (logo volume e área projetada têm fórmulas conhecidas).
  • O feixe tem raio r (logo área do feixe é \pi r^{2}).
  • Para sustentar o grânulo devemos equilibrar a força de radiação para cima com o peso mg para baixo.

Passo 2

Determinar o raio da esfera (chamo-o de a) em termos de m e \rho.
A massa de uma esfera é dada por:
m = \frac{4}{3}\pi a^{3}\rho.
Isolando a:
a = \left(\frac{3m}{4\pi\rho}\right)^{1/3}.

Passo 3

Determinar a área projetada que recebe a pressão de radiação. A área projetada (seção reta) de uma esfera de raio a é
A = \pi a^{2}.

Passo 4

Explicar a pressão de radiação e como ela gera força.
  • Intensidade I é potência por unidade de área, isto é, a energia por segundo que atravessa cada unidade de área.
  • Cada bit de energia E transporta momento p=E/c (onde c é a velocidade da luz). Quando radiação incide sobre uma superfície e é absorvida, a taxa de transferência de momento por unidade área (pressão de radiação) é
p_{\text{abs}}=\frac{I}{c}.
  • Se a radiação for perfeitamente refletida (com mudança de direção completa), a variação de momento é o dobro, e a pressão é
p_{\text{ref}}=\frac{2I}{c}.
  • A força total exercida pela radiação sobre a esfera (na direção do feixe) é a pressão multiplicada pela área projetada:
F_{\text{rad}} = p\,A.
Nota didática curta sobre o fator 2: quando um fóton é refletido, sua componente de momento na direção do feixe muda de +p para -p, variação 2p; para absorção a variação é p. Por isso os fatores.

Passo 5

Escrever a condição de equilíbrio (sustentar o grânulo) e resolver para I.
Condição de equilíbrio:
F_{\text{rad}} = mg.
Caso absorção perfeita (pressão \dfrac{I}{c}):
\frac{I}{c}\,A = mg.
Isolando I:
I_{\text{abs}} = \frac{mg\,c}{A} = \frac{mg\,c}{\pi a^{2}}.
Caso reflexão perfeita (pressão \dfrac{2I}{c}):
\frac{2I}{c}\,A = mg \quad\Rightarrow\quad I_{\text{ref}} = \frac{mg\,c}{2A} = \frac{mg\,c}{2\pi a^{2}}.

Passo 6

Substituir a em termos de m e \rho para expressar I só com m e \rho.
Usando a^{2}=\left(\dfrac{3m}{4\pi\rho}\right)^{2/3}, obtemos:
Para absorção:
I_{\text{abs}} = \frac{mg\,c}{\pi}\left(\frac{3m}{4\pi\rho}\right)^{-2/3}.
Reescrevendo de forma mais compacta:
I_{\text{abs}} = \frac{g c\, m^{1/3}}{\pi}\left(\frac{4\pi\rho}{3}\right)^{2/3}.
Para reflexão perfeita (metade da intensidade do caso de absorção):
I_{\text{ref}} = \frac{1}{2}I_{\text{abs}} = \frac{g c\, m^{1/3}}{2\pi}\left(\frac{4\pi\rho}{3}\right)^{2/3}.

Passo 7

Determinar a potência do feixe quando ele tem raio r.
A potência do feixe é P = I vezes a área do feixe, A_{\text{feixe}}=\pi r^{2}. Logo:
Para absorção:
P_{\text{abs}} = I_{\text{abs}}\cdot \pi r^{2}.
Substituindo I_{\text{abs}} simplifica o fator \pi:
P_{\text{abs}} = g c\, m^{1/3} r^{2}\left(\frac{4\pi\rho}{3}\right)^{2/3}.
Para reflexão perfeita (metade da potência do caso de absorção):
P_{\text{ref}} = \frac{1}{2}P_{\text{abs}} = \frac{1}{2} g c\, m^{1/3} r^{2}\left(\frac{4\pi\rho}{3}\right)^{2/3}.

Passo 8

Comentário final rápido e incentivo: essas fórmulas dão a intensidade e a potência necessárias no modelo simples onde a força de sustentação vem só da pressão de radiação na área projetada. Na prática, para uma esfera de vidro transparente há efeitos de reflexão, refração e espalhamento que mudam números por fatores de ordem unity; mas o raciocínio físico é este. Vai dar tudo certo — você já tem as fórmulas que precisa para a prova!

Resposta

I_{\text{abs}}=\frac{g c\, m^{1/3}}{\pi}\left(\frac{4\pi\rho}{3}\right)^{2/3}
I_{\text{ref}}=\frac{g c\, m^{1/3}}{2\pi}\left(\frac{4\pi\rho}{3}\right)^{2/3}
P_{\text{abs}}=g c\, m^{1/3} r^{2}\left(\frac{4\pi\rho}{3}\right)^{2/3}
P_{\text{ref}}=\frac{1}{2}\,g c\, m^{1/3} r^{2}\left(\frac{4\pi\rho}{3}\right)^{2/3}

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