Lasers têm sido usados para suspender grânulos esféricos de vidro no campo gravitacional da Terra. (a) Se um grânulo tem massa
e densidade
, determine a intensidade de radiação necessária para sustentar o grânulo. (b) Se o feixe tem raio
, qual é a potência requerida por esse laser?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar a intensidade de radiação necessária para sustentar um grânulo esférico de vidro de massa
e densidade . - (b) Se o feixe do laser tem raio
, determinar a potência requerida pelo laser.
Informações relevantes dadas (explicitamente ou implícitas):
- Massa do grânulo:
. - Densidade do material do grânulo:
. - A forma do grânulo é esférica (logo volume e área projetada têm fórmulas conhecidas).
- O feixe tem raio
(logo área do feixe é ). - Para sustentar o grânulo devemos equilibrar a força de radiação para cima com o peso
para baixo.
Passo 2
Determinar o raio da esfera (chamo-o de
) em termos de
e
.
A massa de uma esfera é dada por:
Isolando
:
Passo 3
Determinar a área projetada que recebe a pressão de radiação. A área projetada (seção reta) de uma esfera de raio
é
Passo 4
Explicar a pressão de radiação e como ela gera força.
- Intensidade
é potência por unidade de área, isto é, a energia por segundo que atravessa cada unidade de área. - Cada bit de energia
transporta momento (onde é a velocidade da luz). Quando radiação incide sobre uma superfície e é absorvida, a taxa de transferência de momento por unidade área (pressão de radiação) é
- Se a radiação for perfeitamente refletida (com mudança de direção completa), a variação de momento é o dobro, e a pressão é
- A força total exercida pela radiação sobre a esfera (na direção do feixe) é a pressão multiplicada pela área projetada:
Nota didática curta sobre o fator 2: quando um fóton é refletido, sua componente de momento na direção do feixe muda de
para
, variação
; para absorção a variação é
. Por isso os fatores.
Passo 5
Escrever a condição de equilíbrio (sustentar o grânulo) e resolver para
.
Condição de equilíbrio:
Caso absorção perfeita (pressão
):
Isolando
:
Caso reflexão perfeita (pressão
):
Passo 6
Substituir
em termos de
e
para expressar
só com
e
.
Usando
, obtemos:
Para absorção:
Reescrevendo de forma mais compacta:
Para reflexão perfeita (metade da intensidade do caso de absorção):
Passo 7
Determinar a potência do feixe quando ele tem raio
.
A potência do feixe é
vezes a área do feixe,
. Logo:
Para absorção:
Substituindo
simplifica o fator
:
Para reflexão perfeita (metade da potência do caso de absorção):
Passo 8
Comentário final rápido e incentivo: essas fórmulas dão a intensidade e a potência necessárias no modelo simples onde a força de sustentação vem só da pressão de radiação na área projetada. Na prática, para uma esfera de vidro transparente há efeitos de reflexão, refração e espalhamento que mudam números por fatores de ordem unity; mas o raciocínio físico é este. Vai dar tudo certo — você já tem as fórmulas que precisa para a prova!