2.51. Considere uma partícula movendo-se coma energia potencial
, com
e
sendo constantes positivas. Essa energia potencial, conhecida como energia potencial de Morse, é uma boa aproximação para descrever a interação entre os átomos de algumas moléculas diatômicas.
c) Resolva exatamente o problema de uma partícula com essa energia potencial usando o princípio da conservação da energia e mostre que, no limite de pequenas oscilações, o período tende para aquele encontrado no item anterior.
Passo 1
O enunciado nos dá a energia potencial de Morse
com
e
. A tarefa pede duas coisas:
- Resolver exatamente o problema do movimento de uma partícula nesta energia potencial usando o princípio da conservação de energia — isto é, obter uma expressão exata para o período
da oscilação ligada (quando a energia total está entre o mínimo do poço e zero). - Mostrar que, no limite de pequenas oscilações (energia muito próxima do mínimo do poço), o período obtido tende para o período do oscilador harmônico quadrático obtido expandindo
ao redor do mínimo.
Informações relevantes que extraí do enunciado:
- Potencial
. - Constantes positivas
e . - Queremos o período em função da energia total
(caso ligado: ), e o limite (pequenas oscilações).
Passo 2
Conservação de energia e fórmula do período — montagem inicial.
Explicação didática curta: pela conservação de energia clássica a energia total
é soma da energia cinética e potencial. A velocidade é dada por
. O tempo necessário para ir de um ponto de inversão
a
é
. O período da oscilação completa (ida e volta) é duas vezes isso.
Escrevendo isso explicitamente:
Aqui
e
são os pontos de inversão definidos por
.
Passo 3
Mudança de variável conveniente para o potencial de Morse.
Motivação: o potencial tem exponenciais
. É muito natural definir
pois
e
. Substituindo na expressão de
,
Os pontos de inversão satisfazem
onde usei
. As raízes desta quadrática são os valores
e
correspondentes a
e
.
Também expresso o integral do período em
. Substituindo
e
em
:
Factorizando
dentro da raiz e simplificando:
Observe que
, e o sinal negativo foi incluído porque
quando
está entre as raízes.
Passo 4
Transformação da integral em forma tratável (substituição trigonométrica).
Usarei a substituição padrão que mapeia o intervalo
em
:
com
. Então
e
Substituindo no integrando:
Portanto o integral fica simplesmente (os fatores que cancelaram foram escritos explicitamente):
Passo 5
Avaliação do integral
.
Temos
. O integral padrão
pode ser calculado com a substituição
(ou lembrando uma integral conhecida). Fazendo
,
,
,
. Então o integral vira
Aplicando com
e
, obtemos
Passo 6
Juntando tudo para obter a expressão exata do período.
Reunindo o fator prefatorial do Passo 3 e o valor do integral do Passo 5, lembrando que havia um fator
do Passo 4:
Agora usamos a relação entre
e a energia: para a quadrática
o produto das raízes é
Substituindo:
Esta é a expressão exata do período da oscilação ligada (válida para energias
, lembrando que
).
Comentário intuitivo: a dependência
mostra que o período cresce quando a energia se aproxima de zero (dissociação), o que faz sentido fisicamente: quando a partícula tem energia perto do teto
ela gasta muito tempo nos trechos longe do poço.
Passo 7
Cálculo do período de pequenas oscilações pelo método do oscilador harmônico e verificação do limite.
Para pequenas oscilações em torno do mínimo
do potencial, expandimos
em série de Taylor até segundo ordem. Primeiro localizamos o mínimo resolvendo
:
Logo o mínimo ocorre quando
, isto é
. O valor do potencial no mínimo é
A constante elástica efetiva (
) para pequenas oscilações é
. Calculando a segunda derivada:
então em
(onde
) temos
O período do oscilador harmônico equivalente é
Agora evaluamos o limite da expressão exata
quando a energia total
se aproxima do mínimo
. Substituindo
em
obtém-se
Portanto o período exato tende, no limite de pequenas oscilações, exatamente para o período do oscilador harmônico obtido pela expansão em torno do mínimo.