Questão Individual. Investigue o oscilador com constante elástica k e fator viscoso b, no caso: k= 2 \frac{N}{m}, b=4 \frac{N}{m} s, m=0,5 \mathrm{~kg} para o oscilador dado considere a força externa F=2 N \cos 3 t. Encontre: A freqência de Ressonância, a fase e a potência dissipada.

Passo 1

O enunciado fornece os parâmetros do oscilador forçado e pede três coisas. Dados fornecidos:
  • massa: m=0{,}5\\ \mathrm{kg}.
  • constante elástica: k=2\\ \mathrm{N/m}.
  • coeficiente viscoso (amortecimento): b=4\\ \mathrm{N\\ s/m}.
  • força externa: F(t)=2\\ \cos 3t (ou seja, amplitude F_0=2\\ \mathrm{N} e frequência angular de excitação \omega=3\\ \mathrm{rad/s}).
O enunciado pergunta:
  1. A frequência de ressonância (se existir);
  2. A fase entre a resposta em regime permanente e a força aplicada;
  3. A potência dissipada no regime permanente.

Passo 2

Equação do movimento e forma da solução estacionária (teoria passo a passo).
A equação do oscilador massa-mola com amortecimento viscoso e força harmônica é
m\,\ddot{x}+b\,\dot{x}+k\,x=F_0\cos(\omega t).
Aqui:
  • x(t) é o deslocamento;
  • \dot{x} e \ddot{x} são velocidade e aceleração;
  • F_0 e \omega são amplitude e frequência angular da força externa.
Em regime permanente a solução particular tem a forma harmônica
x_p(t)=X\cos(\omega t-\varphi),
onde X é a amplitude estacionária e \varphi é a defasagem (fase) entre força e deslocamento. Para determinar X e \varphi usa-se o método dos fasores ou substituição direta; obtém-se as fórmulas conhecidas:
X=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(b\omega)^2}}
e
\tan\varphi=\frac{b\omega}{\,k-m\omega^2\,}.
Explicação intuitiva: o numerador do tangente é a componente dissipativa (proporcional à velocidade) que produz defasagem de +\tfrac{\pi}{2}, e o denominador é a componente restauradora (elástica) que dá defasagem de 0 ou \pi; o sinal do denominador determina em que quadrante fica \varphi.
A potência média dissipada pelo amortecedor ao longo de um ciclo pode ser obtida observando que a potência instantânea dissipada é p(t)=b\dot{x}^2(t). Usando \dot{x}(t)=-\omega X\sin(\omega t-\varphi) e que a média de \sin^2 ao longo de um ciclo é 1/2, obtemos
P_{\text{média}}=\left\langle b\dot{x}^2\right\rangle =\frac{1}{2}b\omega^2 X^2.é
Substituindo X nessa expressão dá uma forma direta em função de F_0:
P_{\text{média}}=\frac{F_0^2}{2}\cdot\frac{b\omega^2}{(k-m\omega^2)^2+(b\omega)^2}.é

Passo 3

Cálculo da frequência natural e do regime de amortecimento (índice para ressonância).
A frequência natural (não amortecida) é
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Com k=2 e m=0{,}5 obtemos
\omega_0=\sqrt{\frac{2}{0{,}5}}=\sqrt{4}=2\\ \mathrm{rad/s}.
O amortecimento crítico b_{\text{crítico}}í (limite entre subamortecido e sobreamortecido) é
b_{\text{crítico}}=2\sqrt{mk}.í
Calculando:
b_{\text{crítico}}=2\sqrt{0{,}5\cdot2}=2\sqrt{1}=2\\ \mathrm{N\\ s/m}.í
Como o coeficiente real é b=4\\ \mathrm{N\\ s/m}, temos b>b_{\text{crítico}}í. Isso significa que o sistema livre é sobreamortecido e, para a resposta forçada, o amortecimento é grande.
A frequência de ressonância (valor de \omega que maximiza X) para o oscilador viscoso é dada pela fórmula (quando o máximo não é zero):
\omega_r=\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2}, \qquad\text{onde}\qquad \beta=\frac{b}{2m}.
Vamos calcular \beta:
\beta=\frac{b}{2m}=\frac{4}{2\cdot0{,}5}=\frac{4}{1}=4\\ \mathrm{s^{-1}}.
Agora
\omega_0^2-2\beta^2=2^2-2\cdot4^2=4-2\cdot16=4-32=-28<0.
Como o argumento fica negativo, \omega_r não é real: não existe uma frequência de excitação \omega>0 que produza um pico de amplitude (ressonância propriamente dita). Em palavras simples: o amortecimento é tão grande que não aparece ressonância; a amplitude decresce com o aumento de \omega. Portanto a conclusão é que não há frequência de ressonância real para este conjunto de parâmetros.

Passo 4

Cálculo da fase \varphi entre força e deslocamento para a excitação dada \omega=3\\ \mathrm{rad/s}.
Usamos a fórmula
\tan\varphi=\frac{b\omega}{k-m\omega^2}.
Substituindo os números (peguei \omega=3 do enunciado da força 2\cos 3t):
k-m\omega^2=2-0{,}5\cdot 3^2=2-0{,}5\cdot9=2-4{,}5=-2{,}5.
b\omega=4\cdot3=12.
Logo
\tan\varphi=\frac{12}{-2{,}5}=-4{,}8.
A função arctan no ramo principal dá \arctan(-4{,}8)\approx -1{,}366\\ \mathrm{rad}, mas devemos escolher \varphi no quadrante correto: como o denominador k-m\omega^2 é negativo e o numerador positivo, \varphi pertence ao segundo quadrante, isto é, devemos somar \pi ao valor principal negativo. Assim
\varphi\approx -1{,}366+\pi\approx 1{,}776\\ \mathrm{rad}.
Em graus isso é aproximadamente 1{,}776\cdot\frac{180}{\pi}\approx 101{,}8^\circ. Portanto a resposta está defasada em cerca de 1{,}776\\ \mathrm{rad} (o deslocamento atrasa a força).

Passo 5

Cálculo da amplitude estacionária X (usada depois para potência).
Usando
X=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(b\omega)^2}},
com F_0=2, k-m\omega^2=-2{,}5, b\omega=12:
X=\frac{2}{\sqrt{(-2{,}5)^2+12^2}} =\frac{2}{\sqrt{6{,}25+144}}=\frac{2}{\sqrt{150{,}25}} \approx0{,}1632\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Cálculo da potência média dissipada no amortecedor.
Usando a fórmula
P_{\text{média}}=\frac{1}{2}b\omega^2 X^2,é
substituímos b=4, \omega^2=9 e X^2=\dfrac{F_0^2}{(k-m\omega^2)^2+(b\omega)^2}=\dfrac{4}{150{,}25}. Assim
P_{\text{média}}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot9\cdot\frac{4}{150{,}25} =2\cdot9\cdot\frac{4}{150{,}25} =\frac{72}{150{,}25}\approx0{,}479\\ \mathrm{W}.é
(Verificação alternativa: usar P_{\text{média}}=\dfrac{F_0^2}{2}\dfrac{b\omega^2}{(k-m\omega^2)^2+(b\omega)^2}é dá o mesmo valor.)

Resposta

Não existe frequência de ressonância real (amortecimento muito grande: b> b_{\text{crítico}}í).
\varphi\approx1{,}776\\ \mathrm{rad}
P_{\text{média}}\approx0{,}479\\ \mathrm{W}é

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