Questão Individual. Investigue o oscilador com constante elástica
e fator viscoso
, no caso:
para o oscilador dado considere a força externa
. Encontre: A freqência de Ressonância, a fase e a potência dissipada.
Passo 1
O enunciado fornece os parâmetros do oscilador forçado e pede três coisas. Dados fornecidos:
- massa:
. - constante elástica:
. - coeficiente viscoso (amortecimento):
. - força externa:
(ou seja, amplitude e frequência angular de excitação ).
O enunciado pergunta:
- A frequência de ressonância (se existir);
- A fase entre a resposta em regime permanente e a força aplicada;
- A potência dissipada no regime permanente.
Passo 2
Equação do movimento e forma da solução estacionária (teoria passo a passo).
A equação do oscilador massa-mola com amortecimento viscoso e força harmônica é
A equação do oscilador massa-mola com amortecimento viscoso e força harmônica é
Aqui:
-
é o deslocamento; -
e são velocidade e aceleração; -
e são amplitude e frequência angular da força externa.
Em regime permanente a solução particular tem a forma harmônica
onde
é a amplitude estacionária e
é a defasagem (fase) entre força e deslocamento. Para determinar
e
usa-se o método dos fasores ou substituição direta; obtém-se as fórmulas conhecidas:
e
Explicação intuitiva: o numerador do tangente é a componente dissipativa (proporcional à velocidade) que produz defasagem de
, e o denominador é a componente restauradora (elástica) que dá defasagem de
ou
; o sinal do denominador determina em que quadrante fica
.
A potência média dissipada pelo amortecedor ao longo de um ciclo pode ser obtida observando que a potência instantânea dissipada é
. Usando
e que a média de
ao longo de um ciclo é
, obtemos
Substituindo
nessa expressão dá uma forma direta em função de
:
Passo 3
Cálculo da frequência natural e do regime de amortecimento (índice para ressonância).
A frequência natural (não amortecida) é
A frequência natural (não amortecida) é
Com
e
obtemos
O amortecimento crítico
(limite entre subamortecido e sobreamortecido) é
Calculando:
Como o coeficiente real é
, temos
. Isso significa que o sistema livre é sobreamortecido e, para a resposta forçada, o amortecimento é grande.
A frequência de ressonância (valor de
que maximiza
) para o oscilador viscoso é dada pela fórmula (quando o máximo não é zero):
Vamos calcular
:
Agora
Como o argumento fica negativo,
não é real: não existe uma frequência de excitação
que produza um pico de amplitude (ressonância propriamente dita). Em palavras simples: o amortecimento é tão grande que não aparece ressonância; a amplitude decresce com o aumento de
. Portanto a conclusão é que não há frequência de ressonância real para este conjunto de parâmetros.
Passo 4
Cálculo da fase
entre força e deslocamento para a excitação dada
.
Usamos a fórmula
Usamos a fórmula
Substituindo os números (peguei
do enunciado da força
):
Logo
A função arctan no ramo principal dá
, mas devemos escolher
no quadrante correto: como o denominador
é negativo e o numerador positivo,
pertence ao segundo quadrante, isto é, devemos somar
ao valor principal negativo. Assim
Em graus isso é aproximadamente
. Portanto a resposta está defasada em cerca de
(o deslocamento atrasa a força).
Passo 5
Cálculo da amplitude estacionária
(usada depois para potência).
Usando
Usando
com
,
,
:
Passo 6
Cálculo da potência média dissipada no amortecedor.
Usando a fórmula
Usando a fórmula
substituímos
,
e
. Assim
(Verificação alternativa: usar
dá o mesmo valor.)
Resposta
Não existe frequência de ressonância real (amortecimento muito grande:
).