1.52 Calcule o ângulo entre os vetores a=2 i+j-2 k e b=3 i+3 j.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ângulo entre os vetores
a=2i+j-2k e b=3i+3j.
O conteúdo necessário é produto escalar e norma de vetores, usando a fórmula
costheta = acdotb|a|;|b|

Passo 2

Calcular o produto escalar acdotb.
Pelo componente a componente temos
acdotb = (2)(3) + (1)(3) + (-2)(0) = 6 + 3 + 0 = 9

Passo 3

Calcular as normas |a| e |b|.
Para a:
|a| = raiz2^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3
Para b:
|b| = raiz3^2 + 3^2 + 0^2 = raiz9 + 9 = raiz18 = 3raiz2

Passo 4

Aplicar a fórmula do cosseno do ângulo:
costheta = acdotb|a|;|b| = 93 times 3raiz2 = 99raiz2 = 1raiz2

Passo 5

Determinar theta a partir de costheta = 1/raiz2.
Isso implica
theta = arccos!l(tfrac1raiz2r) = pi4 (radianos)
ou 45^circ.

Resposta

theta = pi4 (ou 45^circ).

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