57 Um fio circular envolve completamente uma moeda de 50 cm de raio. Se houver um aumento de
na temperatura do sistema, que separação existirá entre o fio e a moeda?
.
Passo 1
O enunciado diz que um fio circular envolve completamente uma moeda com raio inicial
. Se a temperatura subir
, os comprimentos (ou raios) mudam por dilatação térmica. Os coeficientes de dilatação linear são
e
.
O que a questão pede: encontrar a separação (distância radial) entre o fio e a moeda depois do aquecimento.
O que a questão pede: encontrar a separação (distância radial)
Dados importantes listados:
Passo 2
Conceito de dilatação linear (aula rápida): para um comprimento inicial
de um material, ao subir a temperatura em
o novo comprimento
é dado por
onde
é o coeficiente de dilatação linear (unidades
). Aqui
indica quanto fração do comprimento original cresce por grau Celsius. Ex.: se
, um comprimento de
cresce
por
.
No nosso problema usamos essa fórmula tanto para a moeda (afeta seu raio) quanto para o fio (afeta seu comprimento total).
Passo 3
Relação geometria: a moeda é circular, então sua circunferência inicial é
O fio envolve a moeda, logo o comprimento inicial do fio é
.
Após aquecer:
- o novo comprimento do fio é
- a moeda (seu raio) cresce linearmente: o novo raio da moeda é
Se o fio permanecer circular, seu raio após aquecimento é
A separação radial entre fio e moeda será
Passo 4
Vamos eliminar
e simplificar a expressão de
. Começamos substituindo
e as fórmulas de
,
,
:
Portanto
Factorizando
:
Essa forma mostra uma coisa bonita e útil: a folga depende só da diferença dos coeficientes, da variação de temperatura e do raio inicial.
Passo 5
Agora substituímos os números dados. Primeiro a diferença dos coeficientes:
Aplicando na fórmula:
Calcule passo a passo:
Passo 6
Converter para unidade mais intuitiva (milímetros):
Comentário curto e encorajador: a folga é muito pequena (apenas 1 mm) — típico em dilatações térmicas com coeficientes tão pequenos. Mas já dá para perceber que um pequeno aumento de comprimento do fio cria uma separação uniforme ao redor da moeda.