57 Um fio circular envolve completamente uma moeda de 50 cm de raio. Se houver um aumento de 100^{\circ} \mathrm{C} na temperatura do sistema, que separação existirá entre o fio e a moeda? \alpha_{\text {fio }}=3.10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}, \alpha_{\text {moeda }}=1.10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}.

Passo 1

O enunciado diz que um fio circular envolve completamente uma moeda com raio inicial R_0=50\\ \mathrm{cm}. Se a temperatura subir \Delta T=100^\circ\mathrm{C}, os comprimentos (ou raios) mudam por dilatação térmica. Os coeficientes de dilatação linear são \alpha_{\text{fio}}=3\cdot10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} e \alpha_{\text{moeda}}=1\cdot10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
O que a questão pede: encontrar a separação (distância radial) d entre o fio e a moeda depois do aquecimento.
Dados importantes listados:
R_0=50\\ \mathrm{cm},\quad \Delta T=100^\circ\mathrm{C},
\alpha_{\text{fio}}=3\cdot10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1},\quad \alpha_{\text{moeda}}=1\cdot10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Passo 2

Conceito de dilatação linear (aula rápida): para um comprimento inicial L_0 de um material, ao subir a temperatura em \Delta T o novo comprimento L é dado por
L = L_0\bigl(1+\alpha\Delta T\bigr),
onde \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidades ^\circ\mathrm{C}^{-1}). Aqui \alpha indica quanto fração do comprimento original cresce por grau Celsius. Ex.: se \alpha=10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}, um comprimento de 1\\ \mathrm{m} cresce 1\cdot10^{-5}\\ \mathrm{m} por 1^\circ\mathrm{C}.
No nosso problema usamos essa fórmula tanto para a moeda (afeta seu raio) quanto para o fio (afeta seu comprimento total).

Passo 3

Relação geometria: a moeda é circular, então sua circunferência inicial é
C_0 = 2\pi R_0.
O fio envolve a moeda, logo o comprimento inicial do fio é L_0 = C_0 = 2\pi R_0.
Após aquecer:
  • o novo comprimento do fio é
L = L_0\bigl(1+\alpha_{\text{fio}}\Delta T\bigr).
  • a moeda (seu raio) cresce linearmente: o novo raio da moeda é
R_{\text{moeda}} = R_0\bigl(1+\alpha_{\text{moeda}}\Delta T\bigr).
Se o fio permanecer circular, seu raio após aquecimento é
R_{\text{fio}} = \frac{L}{2\pi}.
A separação radial entre fio e moeda será
d = R_{\text{fio}} - R_{\text{moeda}}.

Passo 4

Vamos eliminar L_0 e simplificar a expressão de d. Começamos substituindo L_0=2\pi R_0 e as fórmulas de L, R_{\text{moeda}}, R_{\text{fio}}:
R_{\text{fio}} = \frac{L}{2\pi} = \frac{L_0\bigl(1+\alpha_{\text{fio}}\Delta T\bigr)}{2\pi} = \frac{2\pi R_0\bigl(1+\alpha_{\text{fio}}\Delta T\bigr)}{2\pi} = R_0\bigl(1+\alpha_{\text{fio}}\Delta T\bigr).
Portanto
d = R_{\text{fio}} - R_{\text{moeda}} = R_0\bigl(1+\alpha_{\text{fio}}\Delta T\bigr) - R_0\bigl(1+\alpha_{\text{moeda}}\Delta T\bigr).
Factorizando R_0:
d = R_0\bigl(\alpha_{\text{fio}} - \alpha_{\text{moeda}}\bigr)\Delta T.
Essa forma mostra uma coisa bonita e útil: a folga depende só da diferença dos coeficientes, da variação de temperatura e do raio inicial.

Passo 5

Agora substituímos os números dados. Primeiro a diferença dos coeficientes:
\alpha_{\text{fio}} - \alpha_{\text{moeda}} = 3\cdot10^{-5} - 1\cdot10^{-5} = 2\cdot10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Aplicando na fórmula:
d = R_0\bigl(\alpha_{\text{fio}} - \alpha_{\text{moeda}}\bigr)\Delta T = 50\\ \mathrm{cm}\times 2\cdot10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}\times 100^\circ\mathrm{C}.
Calcule passo a passo:
2\cdot10^{-5}\times 100 = 2\cdot10^{-3}.
50\times 2\cdot10^{-3} = 50\times 0{,}002 = 0{,}1\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Converter para unidade mais intuitiva (milímetros):
0{,}1\\ \mathrm{cm} = 1{,}0\\ \mathrm{mm}.
Comentário curto e encorajador: a folga é muito pequena (apenas 1 mm) — típico em dilatações térmicas com coeficientes tão pequenos. Mas já dá para perceber que um pequeno aumento de comprimento do fio cria uma separação uniforme ao redor da moeda.

Resposta

d=0{,}1\\ \mathrm{cm}=1{,}0\\ \mathrm{mm}

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