52 Derive.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas de várias funções envolvendo soma, produto, quociente e composições com funções trigonométricas e exponenciais.
Conteúdos necessários:
  • Derivadas básicas:
    l(sin xr)'=cos x,
    l(cos xr)'=-sin x,
    l(tan xr)'=sec^2 x,
    l(sec xr)'=sec xtan x,
    l(csc xr)'=-csc xcot x,
    l(cot xr)'=-csc^2 x,
    l(e^xr)'=e^x.
  • Regra da soma: (u+v)'=u'+v'.
  • Regra do produto: (uv)'=u'v+uv'.
  • Regra do quociente: l(u/vr)'=(u'v-uv')/v^2.

Passo 2

Para
f(x)=x-3sin x,
aplicamos a regra da soma:
f'(x)=1-3cos x
Para
f(x)=xsin x,
usamos a regra do produto:
f'(x)=1cdotsin x + xcdotcos x = sin x + xcos x

Passo 3

Para
y=sin x + 10tan x,
y'=cos x +10sec^2 x
Para
y=2csc x+5cos x,
y' = 2l(-csc xcot xr) +5l(-sin xr) = -2csc xcot x -5sin x

Passo 4

Para
g(t)=t^3cos t,
g'(t)=3t^2cos t + t^3(-sin t) = 3t^2cos t -t^3sin t
Para
g(t)=4sec t +tan t,
g'(t)=4sec ttan t + sec^2 t

Passo 5

Para
h(theta)=csc theta + e^thetacot theta,
h'(theta) =-cscthetacottheta + l(e^thetacotthetar)' =-cscthetacottheta +e^thetacottheta + e^theta(-csc^2theta)
= -cscthetacottheta +e^thetacottheta -,e^thetacsc^2theta
Para
y=e^u(cos u + c,u),
usamos produto e soma:
y'=e^u(cos u + c,u) +e^u(-sin u + c) =e^ul(cos u + c,u -sin u + cr)

Passo 6

Para
y=x,2-tan x,,
y'=(1)(2-tan x)-x(-sec^2 x)(2-tan x)^2 =2-tan x + xsec^2 x(2-tan x)^2
Para
y=1+sin x,x+cos x,,
y'=cos x,(x+cos x)-(1+sin x)(1-sin x)(x+cos x)^2
No numerador:
;xcos x +cos^2 x -[1-sin^2 x] = xcos x +cos^2 x -1 +sin^2 x = xcos x,
pois cos^2 x+sin^2 x=1.
Logo
y'=xcos x(x+cos x)^2

Passo 7

Para
f(theta)=sectheta1+sectheta,
f'(theta) =secthetatantheta,(1+sectheta) -sectheta,( secthetatantheta )(1+sectheta)^2 =secthetatantheta(1+sectheta)^2
Para
y=1-sec xtan x,
y' =(-sec xtan x),tan x -(1-sec x)sec^2 xtan^2 x =-sec xtan^2 x -sec^2 x(1-sec x)tan^2 x
Como tan^2 x=sec^2 x-1, o numerador simplifica a
sec x(1-sec x), ficando
y'=sec x(1-sec x)tan^2 x

Passo 8

Para
y=sin xx^2,
y'=cos x;x^2 -sin x;2xx^4 =x^2cos x -2xsin xx^4 =xcos x -2sin xx^3
Para
y=csctheta,(theta+cottheta),
y'=(-cscthetacottheta)(theta+cottheta) +csctheta,(1-csc^2theta)

Passo 9

Para
f(x)=x,e^x,csc x,
usamos regra do produto em três fatores:
f'(x) =e^xcsc x + x,e^xcsc x + x,e^x(-csc xcot x) =e^xcsc xl(1 + x - xcot xr)
Para
y=x^2sin xtan x,
y' =2xsin xtan x + x^2cos xtan x + x^2sin xsec^2 x

Resposta

1 f'(x)=1-3cos x
2 f'(x)=sin x + xcos x
3 y'=cos x +10sec^2 x
4 y'=-2csc xcot x -5sin x
5 g'(t)=3t^2cos t -t^3sin t
6 g'(t)=4sec ttan t +sec^2 t
7 h'(theta)=-cscthetacottheta +e^thetacottheta -e^thetacsc^2theta
8 y'=e^ul(cos u +c,u -sin u +cr)
9 y'=dfrac2-tan x + xsec^2 x(2-tan x)^2
10 y'=dfracxcos x(x+cos x)^2
11 f'(theta)=dfracsecthetatantheta(1+sectheta)^2
12 y'=dfracsec x(1-sec x)tan^2 x
13 y'=dfracxcos x -2sin xx^3
14 y'= -cscthetacottheta,(theta+cottheta)+csctheta,(1-csc^2theta)
15 f'(x)=e^xcsc x,(1 + x - xcot x)
16 y'=2xsin xtan x + x^2cos xtan x + x^2sin xsec^2 x

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