Use a Transformada de Laplace e o 2^O Teorema da Translação para resolver o PVI dado.
y^prime prime+4 y=sen(t) U(t-2 pi) com y(0)=1 e y^prime(0)=0.

Passo 1

O problema pede a solução do PVI
y'' + 4y = sin(t),U(t-2pi), y(0)=1,;y'(0)=0
usando transformada de Laplace, o 2º Teorema da Translação (para termos com U(t-a)) e inversão via frações parciais.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados e usando
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0), L4y=4Y(s),
obtemos
(s^2+4)Y(s) - scdot1 - 0 ;=; Lsin(t),U(t-2pi),
isto é,
(s^2+4),Y(s) - s = Lsin(t),U(t-2pi)

Passo 3

Para o segundo membro note que
sin(t),U(t-2pi) = sinl((t-2pi)+2pir),U(t-2pi) = sin(t-2pi),U(t-2pi),
e, pela periodicidade, sin(t-2pi)=sin t. Pelo 2º Teorema da Translação:
Lsin(t),U(t-2pi) = e^-2pi s,Lsin t = e^-2pi s,1s^2+1

Passo 4

Substituindo na equação algébrica e isolando Y(s):
Y(s) =s + e^-2pi s,1s^2+1s^2+4 =ss^2+4 ;+;e^-2pi s(s^2+4)(s^2+1)

Passo 5

O primeiro termo já é transformada de
cos(2t)pois Lcos(2t)=ss^2+4

Passo 6

No segundo termo façamos frações parciais:
1(s^2+1)(s^2+4) = As^2+1 + Bs^2+4 Longrightarrow A=tfrac13,;B=-tfrac13
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1(s^2+1)(s^2+4) = 1/3s^2+1-1/3s^2+4
Invertendo sem o e^-2pi s
f(t) = 13sin t ;-;13l(12sin(2t)r) = 13sin t - 16sin(2t)
Pelo 2º Teorema da Translação,
L^-1e^-2pi sF(s) = U(t-2pi),f(t-2pi)
Usando sin(t-2pi)=sin t e sin(2t-4pi)=sin(2t), obtemos
U(t-2pi)l(tfrac13sin t - tfrac16sin(2t)r)

Passo 7

Somando as duas partes invertidas, a solução fica
y(t) = cos(2t) ;+; U(t-2pi)l(tfrac13sin t - tfrac16sin(2t)r)

Resposta

y(t)=cos(2t)+U(t-2pi)l(tfrac13sin t-tfrac16sin(2t)r)

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