Use a Transformada de Laplace e o
Teorema da Translação para resolver o PVI dado.
y^prime prime+4 y=sen(t) U(t-2 pi) com y(0)=1 e
y^prime(0)=0 .
Passo 1
O problema pede a solução do PVI
usando transformada de Laplace, o 2º Teorema da Translação (para termos com
U(t-a) ) e inversão via frações parciais.
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados e usando
obtemos
isto é,
Passo 3
Para o segundo membro note que
e, pela periodicidade,
sin(t-2pi)=sin t . Pelo 2º Teorema da Translação:
Passo 4
Substituindo na equação algébrica e isolando
Y(s) :
Passo 5
O primeiro termo já é transformada de
Passo 6
No segundo termo façamos frações parciais:
Logo
Invertendo sem o
e^-2pi s dá
Pelo 2º Teorema da Translação,
Usando
sin(t-2pi)=sin t e
sin(2t-4pi)=sin(2t) , obtemos
Passo 7
Somando as duas partes invertidas, a solução fica