53 Demonstre que dd x(cossec x)=-cossec x cotg x.
Demonstre que dd x(sec x)=sec x tg x.
Demonstre que dd x(cotg x)=-cossec^2 x.
Demonstre, pela definição de derivada, que se f(x)=cos x, então f^prime(x)=-sen x.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar as derivadas de funções trigonométricas recíprocas e do cotangente usando regras de derivação (regra do quociente ou da função recíproca) e, por fim, provar pela definição de derivada que, para f(x)=cos x, vale f'(x)=-sin x. Vamos usar como ferramentas:
– derivada de 1/g(x) dada por l(1/gr)'=-g'/g^2,
– regra do quociente l(f/gr)'=(f'g-fg')/g^2,
– derivada conhecida de sin x, isto é, l(sin xr)'=cos x,
– limites trigonométricos limhto0sin hh=1 e limhto0cos h-1h=0.

Passo 2

Demonstração de dd xl(cossecxr)=-cossecx;cotgx.
Como cossecx=1/sin x, aplicamos a derivada da recíproca:
dd xl(cossecxr) =-(sin x)'sin^2x =-cos xsin^2x =-1sin x,cos xsin x =-cossecx;cotgx

Passo 3

Demonstração de dd xl(sec xr)=sec x;tgx.
Como sec x=1/cos x, aplicamos derivada da recíproca:
dd xl(sec xr) =-(cos x)'cos^2x =--sin xcos^2x =sin xcos^2x =1cos x,sin xcos x =sec x;tgx

Passo 4

Demonstração de dd xl(cotgxr)=-cossec^2x.
Como cotgx=cos xsin x, aplicamos a regra do quociente:
dd xl(cotgxr) =(cos x)',sin x-cos x,(sin x)'sin^2x =-sin xcdotsin x-cos xcdotcos xsin^2x =-sin^2x+cos^2xsin^2x =-1sin^2x =-cossec^2x

Passo 5

Demonstração pela definição de derivada de que, se f(x)=cos x, então f'(x)=-sin x.
Pela definição,
f'(x)=limhto0cos(x+h)-cos xh
Usando a fórmula de adição
cos(x+h)=cos xcos h-sin xsin h, temos
cos(x+h)-cos xh =cos x(cos h-1)-sin xsin hh =cos xcos h-1h-sin xsin hh
Como limhto0cos h-1h=0 e limhto0sin hh=1, obtém-se
f'(x)=cos xcdot0-sin xcdot1=-sin x

Resposta

dd xl(csc xr) = -csc x ; cot x
dd xl(sec xr) = sec x ; tan x
dd xl(cot xr) = -csc^2 x
Se f(x) = cos x, então f'(x) = -sin x

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