53 Demonstre que
.
Demonstre que
.
Demonstre que
.
Demonstre, pela definição de derivada, que se
, então
.
Demonstre que
Demonstre que
Demonstre, pela definição de derivada, que se
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar as derivadas de funções trigonométricas recíprocas e do cotangente usando regras de derivação (regra do quociente ou da função recíproca) e, por fim, provar pela definição de derivada que, para
, vale
. Vamos usar como ferramentas:
– derivada de dada por
,
– regra do quociente ,
– derivada conhecida de , isto é,
,
– limites trigonométricos e
.
– derivada de
– regra do quociente
– derivada conhecida de
– limites trigonométricos
Passo 2
Demonstração de
.
Como , aplicamos a derivada da recíproca:
Como
Passo 3
Demonstração de
.
Como , aplicamos derivada da recíproca:
Como
Passo 4
Demonstração de
.
Como , aplicamos a regra do quociente:
Como
Passo 5
Demonstração pela definição de derivada de que, se
, então
.
Pela definição,
Pela definição,
Usando a fórmula de adição
, temos
Como
e
, obtém-se
Resposta
Se
, então