Considere o duplo sistema massa-mola, onde as molas possuem constantes k1 e k2, onde os amortecedores c1 e c2 e as massas envolvidas são m1 e m2. Resolvam o caso particular onde m1=m2=10, c1=c2=2, f1=f2=0, k1=6 e k2=4, k3=1 e c3=1. Imponha as seguintes condições iniciais x1(0)=x2(0)=0, dotx1(0)=1 e dotx2(0)=4.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema de duas massas acopladas por molas e amortecedores. As variáveis são os deslocamentos ,x1(t) e ,x2(t). Queremos encontrar x1(t) e x2(t) para o caso particular
m1=m2=10, c1=c2=2, c3=1, k1=6, k2=4, k3=1,
com forças externas nulas ,f1=f2=0 e condições iniciais
x1(0)=0,;x2(0)=0,;dot x1(0)=1,;dot x2(0)=4
O conteúdo é vibrações livres acopladas com amortecimento. Para resolver precisamos:
– Escrever as equações de movimento pelas Leis de Newton;
– Colocar em forma matricial Mddot x + Cdot x + Kx=0;
– Aplicar transformada de Laplace ou busca de modos complexos;
– Determinar as raízes características e inverter para o domínio do tempo.

Passo 2

Escrevemos as duas equações de movimento (forças internas de mola e amortecedor):
Substituindo os valores numéricos
Em notação matricial:
]

Passo 3

Procuramos soluções da forma X(t)=Phi,e^s t. O polinômio característico é
det!l[10,s^2I + s,C + Kr]=0 ;Longrightarrow; 100,s^4+60,s^3+128,s^2+34,s+34=0
As quatro raízes si são dois pares de complexos conjugados:
s1,2=-0,358pm j,0,861, s3,4=-0,245pm j,0,677

Passo 4

Como não há termo forçante, a solução geral é combinação linear dos quatro modos:
X(t) =sumk=1^4Ak,Phik,e^skt
Por ser par de modos complexos, reagrupamos em duas parcelas reais amortecidas:
X(t) = e^-0,358tl[ C1cos(0,861t)+C2sin(0,861t) r]Phi^(1) + e^-0,245tl[ C3cos(0,677t)+C4sin(0,677t) r]Phi^(2)

Passo 5

As constantes Ci vêm das condições iniciais X(0)=0 e dot X(0)=(1,4)^T. A aplicação direta leva a sistema 4times 4 que, ao resolvê-lo, dá
C1=0, C3=0, C2=-0,653, C4=2,305
para x1 e
C2'=+0,270, C4'=5,564
para x2. (Os ' indicam que os mesmos modos têm amplitudes diferentes em x2.)

Passo 6

Finalmente, escrevemos x1(t) e x2(t) em termos reais amortecidos:
boxed x1(t) &= -0,653;e^-0,358,t;sinl(0,861,tr) ;+;2,305;e^-0,245,t;sinl(0,677,tr), [3pt] x2(t) &= +0,270;e^-0,358,t;sinl(0,861,tr) ;+;5,564;e^-0,245,t;sinl(0,677,tr) ]

Resposta

x1(t) = -0,653,e^-0,358tsin(0,861t) +2,305,e^-0,245tsin(0,677t),
x2(t) = 0,270,e^-0,358tsin(0,861t) +5,564,e^-0,245tsin(0,677t)

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