1.52
Escreva a fórmula para obtenção da distância focal de uma lente em que uma das superfícies é plana e a outra esférica (lente plano-convexa ou plano-côncava).

Passo 1

O enunciado pede a fórmula da distância focal de uma lente em que uma das superfícies é plana e a outra é esférica (casos: plano-convexa e plano-côncava).
Informações e hipóteses que vou usar (não foi pedido, mas são necessárias para especificar a fórmula):
  • Índice de refração do material da lente: n (assume-se lente no ar, com índice externo n_{\text{ar}}=1).
  • Raio de curvatura da superfície esférica: R (sinal será tratado nas explicações).
  • Aproximação de lente fina (espessura da lente desprezível frente às distâncias focais).
    O objetivo final: obter uma expressão para a distância focal f em função de n e R, indicando o sinal/interpretacão para plano-convexa e plano-côncava.

Passo 2

Conceito e fórmula útil: a fórmula do fabricante de lentes (fórmula de lentes delgadas, “lensmaker”) para uma lente de índice n colocada no ar ( n_{\text{ar}}=1) e de espessura desprezível é
\frac{1}{f}=(n-1)\!\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right),
onde:
  • f é a distância focal (positiva para lente convergente, negativa para divergente);
  • R_1 é o raio de curvatura da primeira superfície (aquela pela qual os raios entram), medido com a convenção de sinais que vamos explicar;
  • R_2 é o raio da segunda superfície (a que os raios saem);
  • n é o índice de refração da lente (o meio externo é assumido igual a 1).
    Explicando a convenção de sinais de forma prática e simples: escolhe-se uma direção positiva para o eixo óptico (por exemplo, da esquerda para a direita). Para cada superfície esférica, R é positivo se o centro de curvatura estiver à direita da superfície considerada e negativo se o centro estiver à esquerda. Não se apavore: para o caso plano + esférica isso fica bem simples.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso “uma superfície plana e uma esférica”. Como a superfície plana tem raio infinito, seu termo \dfrac{1}{R} é zero. Assim, tomando R_1 como o raio da superfície esférica e R_2=\infty (plano) ou vice‑versa, a expressão simplifica imediatamente.
Caso 1 — superfície esférica é a primeira superfície (raios entram pela face esférica):
\frac{1}{f}=(n-1)\!\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{\infty}\right)=(n-1)\frac{1}{R_1}.
Logo
f=\frac{R_1}{\,n-1\,}.
Caso 2 — superfície plana é primeira (raios entram pelo plano e saem pela superfície esférica): então R_1=\infty e R_2 é o raio da superfície esférica; a expressão fica
\frac{1}{f}=(n-1)\!\left(0-\frac{1}{R_2}\right)=-\,(n-1)\frac{1}{R_2},
ou seja
f=-\frac{R_2}{\,n-1\,}.

Passo 4

Interpretação física e sinais (explicação didática, para usar na prova sem confundir):
  • Se a superfície esférica for convexa em relação ao meio externo (isto é, a face curva pega os raios paralelos e tende a convergi‑los), e essa face curva recebe os raios primeiro, então R_1>0 e a fórmula dá f>0: lente convergente. Numericamente f=\dfrac{R}{n-1}. Esse é o caso típico de uma lente plano-convexa com a face curva voltada para o objeto — focaliza.
  • Se a mesma lente for virada de modo que os raios entrem pela face plana e saiam pela face curva (a curva agora age como última superfície), o sinal muda e obtém‑se f=-\dfrac{R}{n-1}: foco negativo (lente divergente na orientação considerada).
  • Para uma lente plano-côncava (a face curva é côncava relativamente ao objeto), o raio R tem sinal oposto e a fórmula também dá o foco negativo (lente divergente): em módulo o resultado é \dfrac{R}{n-1} mas com sinal negativo apropriado.
Resumo prático que sempre funciona na prova: para lente fina com uma face plana e outra de raio R,
  • quando a face curva é convexa e recebe os raios primeiro: f=\dfrac{R}{n-1} (convergente);
  • quando a face curva aparece como segunda superfície (ou é côncava para os raios): f=-\dfrac{R}{n-1} (divergente).

Passo 5

Pequeno exemplo numérico para fixar (fazendo sem calculadora): suponha n=1,5 (vidro comum) e R=0,20\\ \text{m}. Então, para a orientação convergente,
f=\frac{R}{n-1}=\frac{0,20}{0,5}=0,40\\ \text{m}.
Se a lente for usada invertida (ou for plano-côncava equivalente), então f=-0,40\\ \text{m}.

Resposta

\frac{1}{f}=(n-1)\!\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)
(para lente fina). Para uma face plana ( R_{\text{plano}}=\infty) e a outra de raio R:
f=\frac{R}{\,n-1\,}\quad\text{(plano‑convexa, face curva recebendo os raios primeiro)}
f=-\frac{R}{\,n-1\,}\quad\text{(orientação reversa / plano‑côncava — foco negativo)}çãô

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