1.52
Escreva a fórmula para obtenção da distância focal de uma lente em que uma das superfícies é plana e a outra esférica (lente plano-convexa ou plano-côncava).
Passo 1
O enunciado pede a fórmula da distância focal de uma lente em que uma das superfícies é plana e a outra é esférica (casos: plano-convexa e plano-côncava).
Informações e hipóteses que vou usar (não foi pedido, mas são necessárias para especificar a fórmula):
Informações e hipóteses que vou usar (não foi pedido, mas são necessárias para especificar a fórmula):
- Índice de refração do material da lente:
(assume-se lente no ar, com índice externo ). - Raio de curvatura da superfície esférica:
(sinal será tratado nas explicações). - Aproximação de lente fina (espessura da lente desprezível frente às distâncias focais).
O objetivo final: obter uma expressão para a distância focalem função de e , indicando o sinal/interpretacão para plano-convexa e plano-côncava.
Passo 2
Conceito e fórmula útil: a fórmula do fabricante de lentes (fórmula de lentes delgadas, “lensmaker”) para uma lente de índice
colocada no ar (
) e de espessura desprezível é
onde:
-
é a distância focal (positiva para lente convergente, negativa para divergente); -
é o raio de curvatura da primeira superfície (aquela pela qual os raios entram), medido com a convenção de sinais que vamos explicar; -
é o raio da segunda superfície (a que os raios saem); -
é o índice de refração da lente (o meio externo é assumido igual a 1).
Explicando a convenção de sinais de forma prática e simples: escolhe-se uma direção positiva para o eixo óptico (por exemplo, da esquerda para a direita). Para cada superfície esférica,é positivo se o centro de curvatura estiver à direita da superfície considerada e negativo se o centro estiver à esquerda. Não se apavore: para o caso plano + esférica isso fica bem simples.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso “uma superfície plana e uma esférica”. Como a superfície plana tem raio infinito, seu termo
é zero. Assim, tomando
como o raio da superfície esférica e
(plano) ou vice‑versa, a expressão simplifica imediatamente.
Caso 1 — superfície esférica é a primeira superfície (raios entram pela face esférica):
Logo
Caso 2 — superfície plana é primeira (raios entram pelo plano e saem pela superfície esférica): então
e
é o raio da superfície esférica; a expressão fica
ou seja
Passo 4
Interpretação física e sinais (explicação didática, para usar na prova sem confundir):
- Se a superfície esférica for convexa em relação ao meio externo (isto é, a face curva pega os raios paralelos e tende a convergi‑los), e essa face curva recebe os raios primeiro, então
e a fórmula dá : lente convergente. Numericamente . Esse é o caso típico de uma lente plano-convexa com a face curva voltada para o objeto — focaliza. - Se a mesma lente for virada de modo que os raios entrem pela face plana e saiam pela face curva (a curva agora age como última superfície), o sinal muda e obtém‑se
: foco negativo (lente divergente na orientação considerada). - Para uma lente plano-côncava (a face curva é côncava relativamente ao objeto), o raio
tem sinal oposto e a fórmula também dá o foco negativo (lente divergente): em módulo o resultado é mas com sinal negativo apropriado.
Resumo prático que sempre funciona na prova: para lente fina com uma face plana e outra de raio
,
- quando a face curva é convexa e recebe os raios primeiro:
(convergente); - quando a face curva aparece como segunda superfície (ou é côncava para os raios):
(divergente).
Passo 5
Pequeno exemplo numérico para fixar (fazendo sem calculadora): suponha
(vidro comum) e
. Então, para a orientação convergente,
Se a lente for usada invertida (ou for plano-côncava equivalente), então
.
Resposta
(para lente fina). Para uma face plana (
) e a outra de raio
: