1.55
Seja f a distância focal de uma lente delgada. Determine a distância entre o centro da lente e o objeto para que se obtenha uma ampliação m.

Passo 1

O enunciado dá uma lente delgada com distância focal f e pede: qual deve ser a distância entre o centro da lente e o objeto para que se obtenha uma ampliação m?\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A distância focal da lente é f.\n
  • Deseja-se uma ampliação linear igual a m (essa ampliação pode ser positiva ou negativa, dependendo se a imagem é direita ou invertida).\n
    O que precisa ser determinado: a distância objeto (denotada por s) medida a partir do centro da lente.\n

Passo 2

Definições e convenções que vamos usar (muito importantes para não se perder na prova):\n
  • Denotaremos a distância do objeto ao centro da lente por s (positiva quando o objeto está do lado de entrada do feixe). \n
  • Denotaremos a distância da imagem ao centro da lente por s' (positiva quando a imagem é real e aparece no lado oposto ao objeto). \n
  • A fórmula fundamental da lente delgada (equação dos focos) é
\frac{1}{f}=\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}.
Vou explicar isso rapidinho: essa relação vem da propriedade geométrica da lente que conecta as curvaturas dos raios incidentes e refratados; na prática, é uma fórmula que relaciona onde o objeto deve estar para formar uma imagem a uma dada distância.\n

Passo 3

Definição de ampliação linear e sua relação com s e s':\n
  • A ampliação linear m é a razão entre a altura da imagem h' e a altura do objeto h:
m=\frac{h'}{h}.
  • Pela semelhança de triângulos traçados pelos raios notáveis na lente (o raio paralelo e o raio que passa pelo centro), obtemos a relação entre alturas e distâncias:
\frac{h'}{h}=-\frac{s'}{s}.
Portanto, a ampliação pode ser escrita como
m=-\frac{s'}{s}.
Observação sobre o sinal: o sinal negativo indica que, quando s'>0 (imagem real do outro lado), m é negativo (imagem invertida). Se m>0, a imagem é direita (virtual) e normalmente ocorre quando s<f.\n

Passo 4

Isolando s' em função de s e m:\n
Da relação \;m=-\dfrac{s'}{s}\; segue
s'=-m\,s.
Essa expressão nos dá s' em termos de s e da ampliação desejada m.\n

Passo 5

Substituir s'=-m s na equação da lente e resolver para s:\n
Partindo de
\frac{1}{f}=\frac{1}{s}+\frac{1}{s'},
substitui-se s':
\frac{1}{f}=\frac{1}{s}+\frac{1}{-m s}.
Colocar o segundo termo sobre um denominador comum:
\frac{1}{f}=\frac{1}{s}-\frac{1}{m s}=\frac{m-1}{m}\cdot\frac{1}{s}.
Agora isola-se s multiplicando ambos os lados por s e dividindo por \dfrac{1}{f}:
\frac{1}{f}=\frac{m-1}{m}\cdot\frac{1}{s} \quad\Longrightarrow\quad s=\frac{m}{m-1}\,f^{-1\,-1}?
Ops, calma — vou reorganizar direitinho a álgebra para ficar claro:\n
Da igualdade anterior,
\frac{1}{f}=\frac{m-1}{m}\cdot\frac{1}{s}.
Invertendo os dois lados (ou isolando s) obtemos
s=\frac{m-1}{m}\,f.
(usar inversão: s=\dfrac{m-1}{m}\cdot f.)\n

Passo 6

Interpretação física e checagens rápidas (para ganhar confiança na resposta):\n
  • Se m=-1 (imagem invertida do mesmo tamanho), então
s=\frac{-1-1}{-1}\,f=\frac{-2}{-1}\,f=2f,
o que coincide com o caso clássico: objeto em 2f produz imagem real em 2f invertida e de mesmo tamanho. Bom sinal!\n
  • Se m<0 (imagem invertida e real), a fórmula dá s>f em muitos casos, como esperado (objetos que geram imagens reais estão além do foco).\n
  • Se m>0 (imagem direita, virtual e aumentada), por exemplo m=2, então
s=\frac{2-1}{2}\,f=\frac{1}{2}f,
ou seja, o objeto fica dentro do foco, também consistente com a física: objeto dentro de f gera imagem virtual direita e aumentada.\n
Portanto a expressão é consistente com os casos conhecidos e o uso das convenções de sinal.\n

Resposta

s=f\left(\frac{m-1}{m}\right)

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