1.55
Seja
a distância focal de uma lente delgada. Determine a distância entre o centro da lente e o objeto para que se obtenha uma ampliação
.
Passo 1
O enunciado dá uma lente delgada com distância focal
e pede: qual deve ser a distância entre o centro da lente e o objeto para que se obtenha uma ampliação
?\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A distância focal da lente é
.\n - Deseja-se uma ampliação linear igual a
(essa ampliação pode ser positiva ou negativa, dependendo se a imagem é direita ou invertida).\n
O que precisa ser determinado: a distância objeto (denotada por) medida a partir do centro da lente.\n
Passo 2
Definições e convenções que vamos usar (muito importantes para não se perder na prova):\n
- Denotaremos a distância do objeto ao centro da lente por
(positiva quando o objeto está do lado de entrada do feixe). \n - Denotaremos a distância da imagem ao centro da lente por
(positiva quando a imagem é real e aparece no lado oposto ao objeto). \n - A fórmula fundamental da lente delgada (equação dos focos) é
Vou explicar isso rapidinho: essa relação vem da propriedade geométrica da lente que conecta as curvaturas dos raios incidentes e refratados; na prática, é uma fórmula que relaciona onde o objeto deve estar para formar uma imagem a uma dada distância.\n
Passo 3
Definição de ampliação linear e sua relação com
e
:\n
- A ampliação linear
é a razão entre a altura da imagem e a altura do objeto :
- Pela semelhança de triângulos traçados pelos raios notáveis na lente (o raio paralelo e o raio que passa pelo centro), obtemos a relação entre alturas e distâncias:
Portanto, a ampliação pode ser escrita como
Observação sobre o sinal: o sinal negativo indica que, quando
(imagem real do outro lado),
é negativo (imagem invertida). Se
, a imagem é direita (virtual) e normalmente ocorre quando
.\n
Passo 4
Isolando
em função de
e
:\n
Da relação segue
Da relação
Essa expressão nos dá
em termos de
e da ampliação desejada
.\n
Passo 5
Substituir
na equação da lente e resolver para
:\n
Partindo de
Partindo de
substitui-se
:
Colocar o segundo termo sobre um denominador comum:
Agora isola-se
multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
:
Ops, calma — vou reorganizar direitinho a álgebra para ficar claro:\n
Da igualdade anterior,
Da igualdade anterior,
Invertendo os dois lados (ou isolando
) obtemos
(usar inversão:
.)\n
Passo 6
Interpretação física e checagens rápidas (para ganhar confiança na resposta):\n
- Se
(imagem invertida do mesmo tamanho), então
o que coincide com o caso clássico: objeto em
produz imagem real em
invertida e de mesmo tamanho. Bom sinal!\n
- Se
(imagem invertida e real), a fórmula dá em muitos casos, como esperado (objetos que geram imagens reais estão além do foco).\n - Se
(imagem direita, virtual e aumentada), por exemplo , então
ou seja, o objeto fica dentro do foco, também consistente com a física: objeto dentro de
gera imagem virtual direita e aumentada.\n
Portanto a expressão é consistente com os casos conhecidos e o uso das convenções de sinal.\n
Portanto a expressão é consistente com os casos conhecidos e o uso das convenções de sinal.\n